2. 函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性、连续性

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001

题目

函数 $f ( x ) = \frac { | x | \sin ( x - 2 ) } { x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^ { 2 } }$ 在下列哪个区间内有界（ ）

(A) $(-1 , 0)$ (B) $(0, 1)$ (C) $(1 , 2)$ (D) $(2, 3)$

知识点

• 含有绝对值的函数的有界性
• 函数在一点处的极限

解析

由于 $f ( x ) = \frac { | x | \sin ( x - 2 ) } { x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^ { 2 } }$ 在 $( - 1 , 0 )$ 上连续，因此只需要判断 $f ( x )$ 在 $x = - 1$ 的右侧邻域，以及 $x = 0$ 的左侧邻域是否有界即可，于是：

$\lim _ { x \rightarrow - 1^{+} } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow - 1^{+} } \frac { | x | \sin ( x - 2 ) } { x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^ { 2 } } = - \frac { \sin 3 } { 1 8 }$

$\lim _ { x \rightarrow 0^{-} } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0^{-} } \frac { | x | \sin ( x - 2 ) } { x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ^ { 2 } } = - \frac { \sin 2 } { 4 }$

由于 $\lim _ { x \rightarrow - 1^{+} } f ( x )$ 和 $\lim _ { x \rightarrow 0^{-} } f ( x )$ 都有极限值，因此，根据函数有界的定义可知，$f ( x )$ 在 $x = - 1$ 的右侧邻域及 $x = 0$ 的左侧邻域都有界，因此，函数 $f ( x )$ 在 $( - 1 , 0 )$ 内有界。

综上可知，本题应选 (A).

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002

题目

已知，函数 $f ( x ) = x (\tan x) \mathrm { e } ^ { \sin x }$, 那么 $f ( x )$ 是（ ）

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数

知识点

• 函数间断点
• 无界函数

解析

由于 $\lim _ { x \rightarrow \frac { \pi } { 2 } } x (\tan x) \cdot \mathrm { e } ^ { \sin x } = \infty$ , 所以 $f ( x )$ 在 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 的某个去心邻域上无界，所以 $f ( x )$ 在其定义域 $(- \infty, + \infty)$ 上是无界函数。

于是可知，本题应选 (B).

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003

题目

$f ( x ) = | x \sin x | \mathrm { e } ^ { \cos x } ( - \infty < x < + \infty )$ 是 ()

(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数

知识点

• 偶函数的判定

解析

由于对任意 $x \in ( - \infty , + \infty )$, 都有：

$f ( - x ) = | - x \sin ( - x ) | \mathrm { e } ^ { \cos ( - x ) } = | x \sin x | \mathrm { e } ^ { \cos x } = f ( x )$

所以，根据偶函数的定义，$f ( x )$ 为偶函数。

于是可知，本题应选 (D).

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004

题目

已知，函数 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 在 $( - \infty , + \infty )$ 上皆可导，且 $f ( x ) < g ( x )$, 则必有（ ）

(A) $f ( - x ) > g ( - x )$

(B) $f ^ { \prime } ( x ) < g ^ { \prime } ( x )$

(C) $\lim _ { x \rightarrow x_{0} } f ( x ) < \lim _ { x \rightarrow x_{0} } g ( x )$

(D) $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t < \int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$

知识点

• 函数极限的性质
• 可导必连续

解析

由于，当 $x \in ( - \infty , + \infty )$ 时，$f ( x ) < g ( x )$, 因此：

$f \left( x _ { 0 } \right) < g \left( x _ { 0 } \right)$

又因为 $f ( x ) , g ( x )$ 在任一点 $x _ { 0 }$ 处可导，所以 $f ( x ) , g ( x )$ 在任一点 $x _ { 0 }$ 处连续，则根据函数极限的性质，可知：

$f \left( x _ { 0 } \right) = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$

$g \left( x _ { 0 } \right) = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$

从而：

$\lim _ { x \rightarrow x } f ( x ) < \lim _ { x \rightarrow x _ { x } } g ( x )$

于是可知，本题应选 (C).

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005

题目

已知，对任意的 $x$, 总有 $\varphi ( x ) \leqslant f ( x ) \leqslant g ( x )$, 且 $\lim _ { x \rightarrow \infty } [ g ( x ) - \varphi ( x ) ] = 0$, 则 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x )$（ ）

(A) 存在且等于零

(B) 存在但不一定等于零

(C) 一定不存在

(D) 不一定存在

知识点

• 函数极限的存在性

解析

本题可以用特例法求解。

对于 (A)、(B) 选项：

令 $\varphi ( x ) = f ( x ) = g ( x ) = x$, 则：

$\lim _ { x \rightarrow \infty } [ g ( x ) - \varphi ( x ) ] = \lim _ { x \rightarrow \infty } ( x - x ) = 0$

但是，$\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow \infty } x$ 的极限不存在。

于是可知，(A)、(B) 选项都错误。

对于 (C)、(D) 选项：

令 $\varphi ( x ) = f ( x ) = g ( x ) = 0$, 则：

$\lim _ { x \rightarrow \infty } [ g ( x ) - \varphi ( x ) ] = 0$

且极限 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = 0$ 存在。

于是可知，(C) 选项错误，(D) 选项正确。

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006

题目

函数 $f ( x ) = x \sin x$（ ）

(A) 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大

(B) 在 $( - \infty , + \infty )$ 内有界

(C) 在 $( - \infty , + \infty )$ 内无界

(D) 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限

知识点

• 函数的有界性
• 无穷大量的判定

解析

令 $x _ { k } = 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 }$, 则当 $k \rightarrow \infty$ 时， $x _ { k } \rightarrow \infty ,$ 且 $f \left( x _ { k } \right) = 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 } \rightarrow \infty ,$ 故 $f ( x )$ 在 $( - \infty , + \infty )$ 内无界。

又令 $x _ { k } = 2 k \pi$, 则当 $k \rightarrow \infty$ 时， $x _ { k } \rightarrow \infty ,$ 且 $f \left( x _ { k } \right) = 0 ,$ 故 $f ( x )$ 不是 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷大量。

于是可知，本题应选 C.

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006

题目

极限 $I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { ( x - a ) ( x + b ) } \right] ^ { x } =$ ()

(A)1. (B) $e$. (C) $\mathrm { e } ^ { a - b }$. (D) $\mathrm { e } ^ { b - a }$.

知识点

• 函数的极限

解析

由于：

$$I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { ( x - a ) ( x + b ) } \right] ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ 1 + \frac { x ^ { 2 } } { ( x - a ) ( x + b ) } - 1 \right] ^ { \frac { ( x - a ) ( x + b ) } { ( a - b ) x + a b } \cdot x \cdot \frac { ( a - b ) x + a b } { ( x - a ) ( x + b ) } }$$

又因为：

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ 1 + \frac { x ^ { 2 } } { ( x - a ) ( x + b ) } - 1 \right] ^ { \frac { ( x - a ) ( x + b ) } { ( a - b ) x + a b } } = \mathrm { e }$$

且：

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } x \cdot \frac { ( a - b ) x + a b } { ( x - a ) ( x + b ) } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { ( a - b ) x ^ { 2 } + a b x } { ( x - a ) ( x + b ) } = a - b$$

所以：

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { x ^ { 2 } } { ( x - a ) ( x + b ) } \right] ^ { x } = \mathrm { e } ^ { a - b }$$

综上可知，应选 (C).

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007

题目

当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x) = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 } \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x - 1 } }$ 的极限

(A) 等于 2. (B) 等于0. (C) 为 $\infty$. (D) 不存在但不为 $\infty$

知识点

• 常见函数的函数的特点
• 函数在一点处极限的存在性

解析

首先，$\lim _ { x \rightarrow + \infty } \mathrm { e } ^ { x } = + \infty , \lim _ { x \rightarrow - \infty } \mathrm { e } ^ { x } = 0$

所以：

$\lim _ { x \rightarrow 1^{+} } \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 } \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x - 1 } } = \lim _ { x \rightarrow 1^{+} } ( x + 1 ) \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x - 1 } } = + \infty$

$\lim _ { x \rightarrow 1^{-} } \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 } \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x - 1 } } = \lim _ { x \rightarrow 1^{-} } ( x + 1 ) \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x - 1 } } = 0$

因此，当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x)$ 的极限不存在，也不为 $\infty$. 故 (D ) 选项正确。

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008

题目

下列函数在其定义域内连续的是()

(A) $f ( x ) = \ln x + \sin x$. (B) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } \sin x , & x \leqslant 0 , \\ \cos x , & x > 0 . \end{array} \right.$

(C) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x + 1 , & x < 0 , \\ 0 , & x = 0 , \\ x - 1 , & x > 0 . \end{array} \right.$ (D) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { 1 } { \sqrt { | x | } } , & x \neq 0 , \\ 0 , & x = 0 . \end{array} \right.$

知识点

• 函数的连续性

解析

由于 $\ln x$ 与 $\sin x$ 均为 $( 0 , + \infty )$ 上的连续函数，并且，由于连续函数之和仍连续，所以 $f ( x ) = \ln x + \sin x$ 在定义域 $( 0 , + \infty )$ 上连续。本题应选 A.

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009

题目

下列函数在其定义域内连续的是()

(A) $f ( x ) = \ln x + \sin x$. (B) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } \sin x , & x \leqslant 0 , \\ \cos x , & x > 0 . \end{array} \right.$

(C) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x + 1 , & x < 0 , \\ 0 , & x = 0 , \\ x - 1 , & x > 0 . \end{array} \right.$ (D) $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } \frac { 1 } { \sqrt { | x | } } , & x \neq 0 , \\ 0 , & x = 0 . \end{array} \right.$

知识点

• 函数的连续性

解析

由于 $\ln x$ 与 $\sin x$ 均为 $( 0 , + \infty )$ 上的连续函数，并且，由于连续函数之和仍连续，所以 $f ( x ) = \ln x + \sin x$ 在定义域 $( 0 , + \infty )$ 上连续。本题应选 A.

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010

题目

设函数 $f ( x ) = \frac { x } { a + \mathrm { e } ^ { b x } }$ 在 $( - \infty , + \infty )$ 内连续，且 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = 0 ,$ 则常数 $a$ 和 $b$ 应满足（ ）

(A) $a < 0 , b < 0$. (B) $a > 0 , b > 0$. (C) $a \leqslant 0 , b > 0$. (D) $a \geqslant 0 , b < 0$.

知识点

• 函数的连续性

解析

因 $f ( x ) = \frac { x } { a + \mathrm { e } ^ { b x } }$ 在 $( - \infty , + \infty )$ 内连续，故对任意的 $x \in ( - \infty , + \infty )$, $a + \mathrm { e } ^ { b x } \neq 0$, 且因为 $\mathrm { e } ^ { b x } > 0$ 一定成立, 假如 $a < 0$, 则一定存在 $x$ 使得 $a + \mathrm { e } ^ { b x } = 0$，所以 $a \geqslant 0$.

又 $\lim _ { x \rightarrow - \infty } f ( x ) = 0 ,$ 即 $\lim _ { x \rightarrow - \infty } \frac { x } { a + \mathrm { e } ^ { b x } } = 0 ,$ 从而 $\lim _ { x \rightarrow - \infty } \left( a + \mathrm { e } ^ { b x } \right) = \infty ,$ 即 $\lim _ { x \rightarrow - \infty } \mathrm { e } ^ { b x } = \infty$, 只有当 $b < 0$ 时，该式才能成立，于是 $b < 0$.

本题应选 D.

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011

题目

设函数 $f⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} −1, & x < 0, \\ 1, & x⩾0 \\ \end{matrix}g⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} 2−a⁢⁢⁢x, & x⩽−1, \\ x, & −1 < x < 0, \\ x−b, & x⩾0, \\ \end{matrix}\right.\right.$ 若 $f ( x ) +$ $g ( x )$ 在 $\mathbf { R }$ 上连续，则 ()

(A) $a = 3 , b = 1$. (B) $a = 3 , b = 2$. (C) $a = - 3 , b = 1$. (D) $a = - 3 , b = 2$.

知识点

• 函数的连续性

解析

因为 $f ( x ) + g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 - a x , & x \leqslant - 1 , \\ x - 1 , & - 1 < x < 0 , \\ x - b + 1 , & x \geqslant 0 \end{array} \right.$ 又 $f ( x ) + g ( x )$ 在 $\mathbf { R }$ 上连续，故：

$\lim _ { x \rightarrow - 1^{-} } [ f ( x ) + g ( x ) ] = \lim _ { x \rightarrow - 1^{+} } [ f ( x ) + g ( x ) ] ,$

$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } [ f ( x ) + g ( x ) ] = \lim _ { x \rightarrow 0^{+} } [ f ( x ) + g ( x ) ] ,$

即 $- 2 = 1 + a , 1 - b = - 1$, 得 $a = - 3 , b = 2$. 本题应选 D.

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012

题目

若函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } \frac { 1 - \cos \sqrt { x } } { a x } , & x > 0 , \\ b , & x \leqslant 0 \end{array} \right.$ 在 $x = 0$ 处连续，则()

(A) $a b = \frac { 1 } { 2 }$. (B) $a b = - \frac { 1 } { 2 }$. (C) $a b = 0$. (D) $a b = 2$.

知识点

• 函数的连续性

解析

因 $f ( x )$ 在 $x = 0$ 处连续，故 $\lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = f ( 0 ) ,$ 从而：

$b = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos \sqrt { x } } { a x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 } x } { a x } = \frac { 1 } { 2 a }$

即 $a b = \frac { 1 } { 2 }$

本题应选 A.

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