4. 无穷小量和无穷大量

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001

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是（ ）

(A) 无穷小

(B) 无穷大

(C) 有界的，但不是无穷小

(D) 无界的，但不是无穷大

知识点

• 等价无穷小
• 函数的极限
• 函数的有界性

解析

本题可以用取特殊点的方式求解。

• 当 $x \rightarrow 0$ 时，若令 $x = \frac { 1 } { 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } }$, 其中 $n \rightarrow \infty$, 则：

$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x } = \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 } \sin \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) = \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 } \rightarrow \infty$

于是可知，此时的 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是无界的。

• 当 $x \rightarrow 0$ 时，若令 $x = \frac { 1 } { n \pi }$, 其中 $n \rightarrow \infty$, 则：

$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x } = ( n \pi ) ^ { 2 } \sin ( n \pi ) = 0$

于是可知，此时的 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是有界的。

由于，若 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 有界，那么，其所有分量都要有界，但很显然，$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 至少有一个分量无界。

同样，若 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 为无穷大，那么，其左右分量都要为无穷大，但很显然，$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 至少有一个分量不是无穷大。

于是可知，本题应选 (D).

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002

题目

设函数 $f ( x ) = \arctan x$, 若 $f ( x ) = x f ^ { \prime } ( \xi )$, 则 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \xi ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } =$ () (A) 1. (B) $\frac { 2 } { 3 }$. (C) $\frac { 1 } { 2 }$. (D) $\frac { 1 } { 3 }$.

知识点

• 无穷小的比阶

解析

由于 $f ( x ) = \arctan x$, 所以 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } }$.

又由题可知 $f ( x ) = x f ^ { \prime } ( \xi )$, 即：

$$\frac { \arctan x } { x } = \frac { 1 } { 1 + \xi ^ { 2 } } \Rightarrow \xi ^ { 2 } = \frac { x - \arctan x } { \arctan x }$$

于是：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \xi ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { 2 } \arctan x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 }$$

综上可知，D 选项正确。

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003

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 则 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 + f ( x ) } { x ^ { 2 } }$ 为()

(A)0. (B)6. (C)36. (D) $\infty$

知识点

• 等价无穷小

解析

对要求解的式子做变形即可：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 + f ( x ) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) + 6 x - \sin 6 x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 x - \sin 6 x } { x ^ { 3 } }$

$= 0 + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 6 } ( 6 x ) ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = 0 + \frac { 1 } { 6 } \times 6 ^ { 3 } = 3 6$

综上可知，应选 (C).

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004

题目

已知 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x - b \right) = 0 ,$ 其 中 $a , b$ 是常数，则 ()

(A) $a = 1 , b = 1$. (B) $a = - 1 , b = 1$. $a = 1 , b = - 1$. (D) $a = - 1 , b = - 1$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x - b \right) = 0 ,$ 得：

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x \right) = b \Rightarrow \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { ( 1 - a ) x ^ { 2 } - a x } { x + 1 } \right] = b \Rightarrow \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { ( 1 - a ) x ^ { 2 } - a x } { x } \right] = b$$

于是可知：

$$\begin{cases} 1 - a = 0 \\ - a = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases}$$

综上可知，应选 (C).

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005

题目

已知极限 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { k } } = c ,$ 其中 $k , c$ 为常数，且 $c \neq 0$, 则 ( )

(A) $k = 2 , c = - \frac { 1 } { 2 }$. (B) $k = 2 , c = \frac { 1 } { 2 }$.

(C) $k = 3 , c = - \frac { 1 } { 3 }$. (D) $k = 3 , c = \frac { 1 } { 3 }$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由于 $c \neq 0$, 且：

$$c = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { k } }$$

所以 $k = 3 , c = \frac { 1 } { 3 }$, 所以应选 (D).

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006

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { 1 } { x } - \left( \frac { 1 } { x } - a \right) \mathrm { e } ^ { x } \right] = 1 ,$ 则 $a$ 等于 ( )

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

知识点

• 等价无穷小

解析

由 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { 1 } { x } - \left( \frac { 1 } { x } - a \right) \mathrm { e } ^ { x } \right] = 1 ,$ 可得：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { x } } { x } + \lim _ { x \rightarrow 0 } a \mathrm { e } ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - x } { x } + a = - 1 + a = 1 \Rightarrow a = 2$

综上可知，应选 (C).

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007

题目

设 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \tan x + b ( 1 - \cos x ) } { c \ln ( 1 - 2 x ) + d \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \right) } = 2 ,$ 其中 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 0$, 则必有 ( )

(A) $b = 4 d$. (B) $b = - 4 d$.

(C) $a = 4 c$. (D) $a = - 4 c$

知识点

• 等价无穷小

解析

由题可知：

$2 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \tan x + b ( 1 - \cos x ) } { c \ln ( 1 - 2 x ) + d \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \right) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \cdot \frac { \tan x } { x } + b \cdot \frac { 1 - \cos x } { x } } { c \cdot \frac { \ln ( 1 - 2 x ) } { x } + d \cdot \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } } { x } } = \frac { a \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { x } + b \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } { x } } { c \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - 2 x } { x } + d \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } } { x } } = \frac { a } { - 2 c }$

于是可知，$a = - 4 c$, 故应选 (D).

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008

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x \right) ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } = 1 ,$ 则()

(A) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. (B) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$.

(C) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$. (D) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = 1$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由于：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x \right) ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { e ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } } \cdot \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } = (2-1)^{0} = \mathrm { e } ^ { 0 }$$

又：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { e ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } } = \mathrm { e }$$

故 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } = 0$, 从而：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + a x ^ { 2 } + b x - 1 + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$$ $$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( a + \frac { 1 } { 2 } \right) x ^ { 2 } + ( b + 1 ) x + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0$$

得 $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. 故应选(B).

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009

题目

设 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \ln ( 1 + x ) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 2 ,$ 则()

(A) $a = 1 , b = - \frac { 5 } { 2 }$. (B) $a = 0 , b = - 2$. (C) $a = 0 , b = - \frac { 5 } { 2 }$. (D) $a = 1 , b = - 2$.

知识点

• 等价无穷小

解析

因为：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \ln ( 1 + x ) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$$ $$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - a ) x - \left( \frac { 1 } { 2 } + b \right) x ^ { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 2$$

于是 $a = 1 , - \frac { 1 } { 2 } - b = 2$, 即 $b = - \frac { 5 } { 2 }$. 因此应选 (A)

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010

题目

设 $\alpha _ { 1 } = x ( \cos \sqrt { x } - 1 ) , \alpha _ { 2 } = \sqrt { x } \ln ( 1 + \sqrt [ 3 ] { x } ) , \alpha _ { 3 } = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } - 1$. 当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )

(A) $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 }$. (B) $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 1 }$.

(C) $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 3 }$. (D) $\alpha _ { 3 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 1 }$

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时：

$\alpha _ { 1 } = x ( \cos \sqrt { x } - 1 ) \sim x \left( - \frac { 1 } { 2 } x \right) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$；

$\alpha _ { 2 } = \sqrt { x } \ln ( 1 + \sqrt [ 3 ] { x } ) \sim \sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x } = x ^ { \frac { 5 } { 6 } }$；

$\alpha _ { 3 } = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } - 1 \sim \frac { 1 } { 3 } x .$

则当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，以上 3 个无穷小量按从低阶到高阶的排序为： $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 1 }$, 因此应选 (B).

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011

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x - \tan x$ 与 $x ^ { k }$ 是同阶无穷小，则 $k =$ ()

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

由题可知：$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan x } { x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { k } } = l \neq 0$, 于是可知，$k = 3$, 选 C.

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012

题目

设 $p ( x ) = a + b x + c x ^ { 2 } + d x ^ { 3 }$. 当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p ( x ) - \tan x$ 是比 $x ^ { 3 }$ 高阶的无穷小量，则下列选项中错误的是 ()

(A) $a = 0$. (B) $b = 1$. (C) $c = 0$. (D) $d = \frac { 1 } { 6 }$.

知识点

• 等价无穷小
• 极限式中未知参数求解

解析

由题知 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { p ( x ) - \tan x } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 即：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x + c x ^ { 2 } + \mathrm { d } x ^ { 3 } - \tan x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x + c x ^ { 2 } + d x ^ { 3 } - x + x - \tan x } { x ^ { 3 } } = 0$

从而 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x - x + c x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } + d + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan r } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 又 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = - \frac { 1 } { 3 }$

故 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x - x + c x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 } - d ,$ 从而必有 $a = 0 , b = 1 , c = 0$,

于是可知 $d = \frac { 1 } { 3 }$. 因此应选 D.

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013

题目

设 $\cos x - 1 = x \sin \alpha ( x )$, 其中 $| \alpha ( x ) | < \frac { \pi } { 2 }$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$ 是()

(A)比 $x$ 高阶的无穷小量. (B)比 $x$ 低阶的无穷小量. (C)与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量. (D)与 $x$ 等价的无穷小量.

知识点

• 同阶但不等价的无穷小

解析

由于：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \alpha ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin \alpha ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \sin \alpha ( x ) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x - 1 } { x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \neq 1$$

所以，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量。本题应选 C.

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014

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，用 “$o ( x )$”表示比 $x$ 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是 ()

(A) $x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) .$ (B) $o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) .$ (C) $o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 2 } \right) .$ (D) $o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 2 } \right) .$

知识点

• 高阶无穷小
• 加法和乘法对无穷小的影响

解析

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) ,$ 选项 A 正确；

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) } { x } \cdot \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) ,$ 选项 B 正确；

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } + \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } \right] = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) =$ $o \left( x ^ { 2 } \right) ,$ 选项 C 正确；

然而 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o ( x ) ,$ 但 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$ 不一定存在，选项 D 不正确。

本题应选 D.

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015

题目

已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f ( x ) = 3 \sin x - \sin 3 x$ 与 $c x ^ { k }$ 是等价无穷小，则 ()

(A) $k = 1 , c = 4$. (B) $k = 1 , c = - 4$. (C) $k = 3 , c = 4$. (D) $k = 3 , c = - 4$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由题意知， $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { c x ^ { k } } = 1$, 于是：

$1 = \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin x - \sin 3 x } { c x ^ { k } } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 3 \left[ x - \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] - \left[ 3 x - \frac { 1 } { 6 } ( 3 x ) ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] } { c x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 4 x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) } { c x ^ { k } }$

因此，$c = 4 , k = 3$.

本题应选 C.

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016

题目

设 $f ( x ) = \ln ^ { 1 0 } x , g ( x ) = x , h ( x ) = \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 1 0 } }$, 则当 $x$ 充分大时有 ( )

(A) $g ( x ) < h ( x ) < f ( x )$. (B) $h ( x ) < g ( x ) < f ( x )$. (C) $f ( x ) < g ( x ) < h ( x )$. (D) $g ( x ) < f ( x ) < h ( x )$.

知识点

• 洛必达运算
• 无穷量的比较

解析

由洛必达运算可知：

$$\lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{\ln ^{10}x}{x} = \lim \limits_{x\rightarrow ∞}\frac{10\ln ^{9}x}{x} = ⋯ = \lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{10!}{x} = 0$$

继续由洛必达运算可知：

$$\lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{x}{e^{\frac{x}{10}}} = \lim \limits_{x\rightarrow ∞}\frac{1}{\frac{1}{10} \cdot e^{\frac{x}{10}}} = 0$$

因此，当 $x$ 充分大时，有 $f ( x ) = \ln ^ { 1 0 } x < g ( x ) = x < h ( x ) = \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 1 0 } }$. 于是，本题应选 C.

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017

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x ) = x - \sin a x$ 与 $g ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - b x )$ 是等价无穷小，则 ( )

(A) $a = 1 , b = - \frac { 1 } { 6 }$. (B) $a = 1 , b = \frac { 1 } { 6 }$. (C) $a = - 1 , b = - \frac { 1 } { 6 }$. (D) $a = - 1 , b = \frac { 1 } { 6 }$.

知识点

• 泰勒公式
• 等价无穷小

解析

由题可知 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = 1 ,$ 即：

$1 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \sin a x } { x ^ { 2 } \ln ( 1 - b x ) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \left[ a x - \frac { 1 } { 6 } ( a x ) ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] } { - b x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - a ) x + \frac { a ^ { 3 } } { 6 } x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) } { - b x ^ { 3 } } ,$

于是 $\left\{ \begin{array} { l } 1 - a = 0 , \\ \frac { a ^ { 3 } } { 6 } = - b , \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } a = 1 , \\ b = - \frac { 1 } { 6 } , \end{array} \right.$ 因此，本题应选 A.

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018

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，若 $\ln ^ { a } ( 1 + 2 x ) , ( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 1 } { a } }$ 均是比 $x$ 高 阶的无穷小，则 $a$ 的取值范围是 ( )

(A) $( 2 , + \infty )$. (B) (1,2) . (C) $\left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right) .$ (D) $\left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right) .$

知识点

• 扩展的等价无穷小

解析

由题可知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$\ln ^ { a } ( 1 + 2 x ) \sim ( 2 x ) ^ { a } \Rightarrow a > 1$

$( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 1 } { a } } \sim \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { a } } \Rightarrow \left( \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { \frac { 2 } { a } } \Rightarrow \frac{2}{a} > 1$

于是可知 $1 < a < 2$.

本题应选 B.

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019

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，与 $\sqrt { x }$ 等价的无穷小量是 ()

(A) $1 - \mathrm { e } ^ { \sqrt { x } }$. (B) $\ln \frac { 1 + x } { 1 - \sqrt { x } }$. (C) $\sqrt { 1 + \sqrt { x } } - 1$. (D) $1 - \cos \sqrt { x }$.

知识点

• 等价无穷小
• 对数函数的乘除变加减

解析

$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln \frac { 1 + x } { 1 - \sqrt { x } } } { \sqrt { x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln ( 1 + x ) } { \sqrt { x } } - \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln ( 1 - \sqrt { x } ) } { \sqrt { x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x } { \sqrt { x } } - \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {- \sqrt { x } } { \sqrt { x } } = 0-(-1) = 1$

本题应选 B.

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020

题目

把 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时的无穷小量 $\alpha = \int _ { 0 } ^ { x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t , \beta = \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \tan \sqrt { t } \mathrm { ~ d } t , \gamma = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t$ 排列起来， 使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 ()

(A) $\alpha , \beta , \gamma$. (B) $\alpha , \gamma , \beta$. (C) $\beta , \alpha , \gamma$. (D) $\beta , \gamma , \alpha$.

知识点

• 高阶无穷小

解析

由于：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \beta } { \gamma } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \tan \sqrt { t } \mathrm { ~ d } t } { \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \tan \sqrt { x ^ { 2 } } \cdot 2 x } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \cdot \sin ( \sqrt { x } ) ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { | x | \cdot 2 x } { \frac { 1 } { 2 } x } = 0$

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \gamma } { \alpha } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t } { \int _ { 0 } ^ { x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \cdot \sin ( \sqrt { x } ) ^ { 3 } } { \cos x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } } { 2 } = 0$

由高阶无穷小的定义知， $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时， $\beta$ 是 $\gamma$ 的 高阶无穷小， $\gamma$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，本题应选 B.

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021

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，下列无穷小量中最高阶的是 ()

(A) $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { x } } - 1 \right) \mathrm { d } t .$ (B) $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t .$ (C) $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t$. (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$.

知识点

• 无穷小量的比阶
• 积分运算对无穷小的影响

解析

以下的解题步骤中，我们都从 $x \rightarrow 0^+$ 的角度计算。

1. 因为 $\mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \sim x ^ { 2 }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { \prime } } - 1 \right) \mathrm { d } t \sim \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t = \frac { x ^ { 3 } } { 3 }$，于是 $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { t } } - 1 \right) \mathrm { d } t$ 是 $x$ 的3阶无穷小；

2. 因为 $\ln \left( 1 + \sqrt { x ^ { 3 } } \right) \sim \sqrt { x ^ { 3 } } = x ^ { \frac { 3 } { 2 } }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t \sim \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \mathrm { ~ d } t = \frac { 2 } { 5 } x ^ { \frac { 5 } { 2 } }$, 于是， $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t$ 是 $x$ 的 $\frac { 5 } { 2 }$ 阶 无穷小；

3. 因为 $\sin x ^ { 2 } \sim x ^ { 2 }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t \sim \int _ { 0 } ^ { \sin x } t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t = \frac { ( \sin x ) ^ { 3 } } { 3 } \sim \frac { x ^ { 3 } } { 3 }$, 于是 $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t$ 是 $x$ 的3阶无穷小；

4. 因为 $\sqrt { \sin ^ { 3 } x } \sim x ^ { \frac { 3 } { 2 } }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t \sim \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \mathrm { ~ d } t = \frac { 2 } { 5 } ( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } \sim \frac { 2 } { 5 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 0 } x ^ { 5 }$, 于是 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$ 是 $x$ 的5阶无穷小；

综上， $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，无穷小量中最高阶的是 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$.

本题应选 D.

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022

题目

设当 $x \rightarrow 0$ 时， $( 1 - \cos x ) \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$ 是比 $x \sin x ^ { n }$ 高阶的无穷小， $x \sin x ^ { n }$ 是比 $\left( \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于 ( )

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

因 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$( 1 - \cos x ) \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } , x \sin x ^ { n } \sim x ^ { n + 1 } , \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \sim x ^ { 2 }$

于是， $4 > n + 1 > 2$, 从而 $n = 2$. 本题应选 B.

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023

题目

设 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x }$ 与 $x ^ { n }$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为()

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x } = \mathrm { e } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { \tan x - x } - 1 \right) \sim \mathrm { e } ^ { x } ( \tan x - x ) \sim \tan x - x \sim \frac { x ^ { 3 } } { 3 } ,$

于是 $\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x }$ 是 $x$ 的3阶无穷小，因此 $n = 3$. 本题应选 C.

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024

题目

设 $f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t , g ( x ) = \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 }$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 是 $g ( x )$ 的

(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但不等价的无究小

知识点

• 等价无穷小

解析

因为 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( 1 - \cos x ) ^ { 2 } \cdot \sin x } { x ^ { 4 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - \cos x ) ^ { 2 } \cdot x } { x ^ { 4 } }$

$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cdot x } { x ^ { 4 } } = 0 ,$

因此，当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 是 $g ( x )$ 的高阶无穷小，本题应选 B.

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025

题目

设当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right)$ 是比 $x ^ { 2 }$ 高阶的无穷小，则 ( )

(A) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$. (B) $a = 1 , b = 1$. (C) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. (D) $a = - 1 , b = 1$.

知识点

• 高阶无穷小

解析

如果，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right)$ 是比 $x ^ { 2 }$ 高阶的无穷小，则有：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right) } { x ^ { 2 } } \\ \\= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - b ) x + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) x ^ { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 \\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } 1 - b = 0 , \\ \frac { 1 } { 2 } - a = 0 . \end{array} \right. \Rightarrow a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$$

本题应选(A).

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026

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $x - \sin x$ 是 $x ^ { 2 }$ 的()

(A) 低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C) 等价无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.

知识点

• 高阶无穷小

解析

由于 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \sin x } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } } = 0$, 因此，当 $x \rightarrow 0$ 时， $x - \sin x$ 是的高阶无穷小.

本题应选 B.

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027

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量 ()

(A) $x^{2}$. (B) $1 - \cos x$. (C) $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$. (D) $x - \tan x$.

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0$ 时：

• $x ^ { 2 }$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $1 - \cos x \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, 故 $1 - \cos x$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1 \sim - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, 故 $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $x - \tan x \sim - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 }$, 故 $x - \tan x$ 是 $x$ 的3阶无穷小.

于是，比较可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x - \tan x$ 是比 $x ^ { 2 } , 1 - \cos x , \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$ 都高阶的无穷小量。本题应选 D.

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028

题目

设 $f ( x ) = 2 ^ { x } + 3 ^ { x } - 2$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时()

(A) $f ( x )$ 是 $x$ 的等价无穷小. (B) $f ( x )$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小. (C) $f ( x )$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小. (D) $f ( x )$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小.

知识点

• 等价无穷小
• 同阶无穷小

解析

由于:

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 ^ { x } + 3 ^ { x } - 2 } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 ^ { x } - 1 } { x } + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 ^ { x } - 1 } { x } = \ln 2 + \ln 3 = \ln 6 \neq 1$

所以，当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 与 $x$ 是同阶但非等价的无穷小。本题应选 B.

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