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3. 数列的极限、单调性、有界性

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001​

题目

若 lim⁡n→∞an=a\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = a, 且 a≠0a \neq 0, 则当 nn 充分大时有()

(A) ∣an∣>∣a∣2\left| a _ { n } \right| > \frac { | a | } { 2 }

(B) ∣an∣<∣a∣2\left| a _ { n } \right| < \frac { | a | } { 2 }

(C) an>a−1na _ { n } > a - \frac { 1 } { n }

(D) an<a+1na _ { n } < a + \frac { 1 } { n }

知识点

  • 数列的有界性

解析

由于 lim⁡n→∞an=a≠0\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = a \neq 0, 所以 lim⁡n→∞∣an∣=∣a∣>0\lim _ { n \rightarrow \infty } \left| a _ { n } \right| = | a | > 0.

若令 ε=∣a∣2\varepsilon = \frac { | a | } { 2 } , 则由极限的定义知，存在正整数 NN , 当 n>Nn > N 时，有：

∣∣an∣−∣⁢⁢⁢a⁢⁢⁢∣⁢⁢⁢∣<ε=∣⁢⁢⁢a⁢⁢⁢∣2\left|\left|a_{n}\right|−∣⁢⁢⁢a⁢⁢⁢∣⁢⁢⁢∣ < \varepsilon = \frac{∣⁢⁢⁢a⁢⁢⁢∣}{2}\right.

从而：

∣an∣>∣a∣2\left| a _ { n } \right| > \frac { | a | } { 2 } 于是可知，本题应选 (A).

对于选项(C): 若令 an=a−2na _ { n } = a - \frac { 2 } { n } , 则 lim⁡n→∞an=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = a , 但是 an<a−1na _ { n } < a - \frac { 1 } { n } , 因此 (C) 选项错误；

对于选项(D): 若令 an=a+2na _ { n } = a + \frac { 2 } { n } , 则 lim⁡n→∞an=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = a , 但是 an>a+1na _ { n } > a + \frac { 1 } { n } , 因此 (D) 选项错误。

002​

题目

设数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 收敛，则

(A) 当 lim⁡n→∞sin⁡xn=0\lim _ { n \rightarrow \infty } \sin x _ { n } = 0 时， lim⁡n→∞xn=0.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = 0 .

(B) 当 lim⁡n→∞(xn+∣xn∣)=0\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( x _ { n } + \sqrt { \left| x _ { n } \right| } \right) = 0 时， lim⁡n→∞xn=0.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = 0 .

(C) 当 lim⁡n→∞(xn+xn2)=0\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( x _ { n } + x _ { n } ^ { 2 } \right) = 0 时， lim⁡n→∞xn=0.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = 0 .

(D) 当 lim⁡n→∞(xn+sin⁡xn)=0\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( x _ { n } + \sin x _ { n } \right) = 0 时， lim⁡n→∞xn=0.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = 0 .

知识点

  • 数列极限
  • 常用特例

解析

取 xn=πx _ { n } = \pi , 则 sin⁡xn=0\sin x _ { n } = 0 , 但 lim⁡n→∞xn=π≠0,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = \pi \neq 0 , 可排除(A), 同理，取 xn=−1x _ { n } = - 1 , 可排除 (B) 和 (C).

对于 (D) 选项：由于数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 收敛，于是设 lim⁡n→∞xn=A.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = A . 接着，若 lim⁡n→∞(xn+sin⁡xn)=0\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( x _ { n } + \sin x _ { n } \right) = 0 时，则有 A+sin⁡A=0A + \sin A = 0 , 对该式求解得唯一解 A=0A = 0 . 因此应选 (D).

003​

题目

设 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 是数列，下列命题中不正确的是 ()

(A) 若 lim⁡n→∞xn=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a , 则 lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n + 1 } = a .

(B) 若 lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n + 1 } = a , 则 lim⁡n→∞xn=a.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a .

(C) 若 lim⁡n→∞xn=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a , 则 lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 3 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 3 n + 1 } = a .

(D) 若 lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 3 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 3 n + 1 } = a , 则 lim⁡n→∞xn=a.\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a .

知识点

  • 数列极限的存在性定理

解析

根据“数列收敛于 aa , 其任意子列也收敛于 aa 可知，(A) 和 (C) 选项的说法正确.

又因为数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 收敛于 aa 的充要条件为 lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n + 1 } = a , 故(B)正确.

对于 (D) 选项：若令 x3n=x3n+1=a,x3n+2=n,n=1,2,⋯x _ { 3 n } = x _ { 3 n + 1 } = a , x _ { 3 n + 2 } = n , n = 1 , 2 , \cdots , 则 lim⁡n→∞x3n+2=∞\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 3 n + 2 } = \infty, 因此极限 lim⁡n→∞xn\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } 不存在，与 lim⁡n→∞xn=a\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a 矛盾，因此，(D) 选项错误，应选 (D).

004​

题目

设 an>0(n=1,2,3⋯ ),Sn=a1+a2+a3+⋯+ana _ { n } > 0 ( n = 1 , 2 , 3 \cdots ) , S _ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + \cdots + a _ { n } , 则数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} 有界是数列 {an}\left\{ a _ { n } \right\} 收敛的( )

(A) 充分必要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要.

知识点

  • 数列的敛散性

解析

若 an=1,n=1,2⋯a _ { n } = 1 , n = 1 , 2 \cdots , 则 an>0a _ { n } > 0 , 且数列 {an}\left\{ a _ { n } \right\} 收敛，但 Sn⇔a1+a2+⋯+an=nS _ { n } \Leftrightarrow a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } = n , 所以，数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} 无界，因此，数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} 有界不是数列 {an},\left\{ a _ { n } \right\} , 收敛的必要条件，因为，当数列 {Sn}\{ S_{n} \} 无界的时候，数列 {an}\{ a_{n} \} 也可能收敛。

因 Sn=a1+a2+⋯+anS _ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } , 故 Sn+1−Sn=an+1>0S _ { n + 1 } - S _ { n } = a _ { n + 1 } > 0 , 从而数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} 单调递增，又因为数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} lim⁡n→∞Sn=A\lim _ { n \rightarrow \infty } S _ { n } = A 有界，由单调有界原理知， lim⁡n→∞Sn\lim _ { n \rightarrow \infty } S _ { n } 存在，此时，不妨设则 an=Sna _ { n } = S _ { n } −Sn−1- S _ { n - 1 } , 从而 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞Sn−lim⁡n→∞Sn−1=A−A=0,\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } S _ { n } - \lim _ { n \rightarrow \infty } S _ { n - 1 } = A - A = 0 , 即数列 {an}\left\{ a _ { n } \right\} 收敛，从而数列 {Sn}\left\{ S _ { n } \right\} 有界是数列 {an}\left\{ a _ { n } \right\} 收敛的充分条件。

于是可知，本题应选 (B).

005​

题目

设 {an},{bn},{cn}\left\{ a _ { n } \right\} , \left\{ b _ { n } \right\} , \left\{ c _ { n } \right\} 均为非负数列，且 lim⁡n→∞an=0,lim⁡n→∞bn=1,lim⁡n→∞cn=∞,\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = 0 , \lim _ { n \rightarrow \infty } b _ { n } = 1 , \lim _ { n \rightarrow \infty } c _ { n } = \infty , 则必有 ()

(A) an<bna _ { n } < b _ { n } 对任意 nn 成立. (B) bn<cnb _ { n } < c _ { n } 对任意 nn 成立. (C)极限 lim⁡n→∞ancn\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } c _ { n } 不存在. (D)极限 lim⁡n→∞bncn\lim _ { n \rightarrow \infty } b _ { n } c _ { n } 不存在.

知识点

  • 数列有限项与无限项的极限运算

解析

因 lim⁡n→∞bn=1,lim⁡n→∞cn=∞,\lim _ { n \rightarrow \infty } b _ { n } = 1 , \lim _ { n \rightarrow \infty } c _ { n } = \infty , 故 lim⁡n→∞bncn=∞.\lim _ { n \rightarrow \infty } b _ { n } c _ { n } = \infty . 故应选(D).

因数列极限与前有限项无关，如取 an={2,1,12,14,⋯ },bn≡1,a _ { n } = \left\{ 2 , 1 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right\} , b _ { n } \equiv 1 , 从而可知选项 (A) 和 (B) 都错误；

再取 cn={1,2,4,8,⋯ }c _ { n } = \{ 1 , 2 , 4 , 8 , \cdots \} , 则可知 ancn=2a _ { n } c _ { n } = 2 , 即 lim⁡n→∞ancn=2,\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } c _ { n } = 2 , 选项 (C) 错误.

006​

题目

“对任意给定的 ε∈(0,1)\varepsilon \in ( 0 , 1 ) , 总存在正整数 NN , 当 n⩾Nn \geqslant N 时，恒有 ∣xn−a∣⩽2ε\left| x _ { n } - a \right| \leqslant 2 \varepsilon ”是数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 收敛于 aa 的 ()

(A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.

知识点

  • 数列极限的定义

解析

数列极限的精确定义：对于任意给定的 ε\varepsilon , 总存在 N>0N > 0 , 当 n>Nn > N 时， ∣xn−a∣<ε.\left| x _ { n } - a \right| < \varepsilon .

若取 ε1=2ε\varepsilon _ { 1 } = 2 \varepsilon , 则本题可表述为任意 ε1=2ε∈(0,2)>0\varepsilon _ { 1 } = 2 \varepsilon \in ( 0 , 2 ) > 0 , 总存在 N1>0N _ { 1 } > 0 , 使得 n⩾n \geqslant N>N1N > N _ { 1 } 时，有 ∣xn−a∣<2ε=ε1,\left| x _ { n } - a \right| < 2 \varepsilon = \varepsilon _ { 1 } , 即数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 收敛于 aa .

因此，本题的说法与数列极限的定义等价，应选 (C).

007​

题目

设数列 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 与 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 满足 lim⁡n→∞xnyn=0,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } = 0 , 则下列断言正确的是 ()

(A)若 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 发散，则 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 必发散. (B)若 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 无界，则 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 必有界 (C)若 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 有界，则 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 必为无穷小. (D)若 {1xn}\left\{ \frac { 1 } { x _ { n } } \right\} 为无穷小，则 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 必为无穷小.

知识点

  • 常用的数列特例

解析

A 选项：

取 {xn}={n},{yn}={1n2},lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞1n=0,\left\{ x _ { n } \right\} = \{ n \} , \left\{ y _ { n } \right\} = \left\{ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right\} , \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } = 0 , 但 lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞1n2=0,\lim _ { n \rightarrow \infty } y _ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } = 0 , 故 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 收敛，故 (A) 错；

B 选项：

取 xn={n,n⁢⁢⁢为⁢⁢⁢奇⁢⁢⁢数,0,n⁢⁢⁢为⁢⁢⁢偶⁢⁢⁢数,yn={0,n为奇数,n,n为偶数,x_{n} = \left\{\begin{matrix} n, & n⁢⁢⁢为⁢⁢⁢奇⁢⁢⁢数, \\ 0, & n⁢⁢⁢为⁢⁢⁢偶⁢⁢⁢数, \\ \end{matrix}y_{n} = \left\{\begin{matrix} 0, & n\text{为奇数,} \\ n, & n\text{为偶数,} \\ \end{matrix}\right.\right. 则 lim⁡n→∞xnyn=0,{xn}\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } = 0 , \left\{ x _ { n } \right\} 无界，但 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 也无界，故 (B) 错；

C 选项：

取 xn={1,n为奇数,0,n为偶数,yn={0,n为奇数,1,n为偶数,x_{n} = \left\{\begin{matrix} 1, & n\text{为奇数,} \\ 0, & n\text{为偶数,} \\ \end{matrix}y_{n} = \left\{\begin{matrix} 0, & n\text{为奇数,} \\ 1, & n\text{为偶数,} \\ \end{matrix}\right.\right. 则 lim⁡n→∞xnyn=0,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } = 0 , 因 ∣xn∣⩽1,\left| x _ { n } \right| \leqslant 1 , 故 {xn}\left\{ x _ { n } \right\} 有界，但 lim⁡n→∞yn\lim _ { n \rightarrow \infty } y _ { n } 不存在，从而 {yn}\left\{ y _ { n } \right\} 不是无穷小量，故 (C) 错；

D 选项：

若 {1xn}\left\{ \frac { 1 } { x _ { n } } \right\} 为无穷小，又 lim⁡n→∞xnyn=0,\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } = 0 , 则 lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞xnyn⋅1xn=0\lim _ { n \rightarrow \infty } y _ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } y _ { n } \cdot \frac { 1 } { x _ { n } } = 0 , 因此 {yn}\{ y_{n} \} 也是无穷小量，故应选 (D).

008​

题目

设数列的通项为 xn={n2+nn,n为奇数1n,n为偶数x _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } \frac { n ^ { 2 } + \sqrt { n } } { n } , & n 为奇数 \\ \frac { 1 } { n } , & n 为偶数 \end{array} \right. 则当 n→∞n \rightarrow \infty 时， xnx _ { n } 是 ()

(A)无穷大量. (B)无穷小量. (C)有界变量. (D)无界变量.

知识点

  • 数列有界性的定义；
  • 数列极限存在的定义。

解析

当 nn 为奇数且 n→∞n \rightarrow \infty 时， xn=n2+nn=n→∞,x _ { n } = \frac { n ^ { 2 } + \sqrt { n } } { n } = n \rightarrow \infty , 因此，当 n→∞n \rightarrow \infty 时，xnx_{n} 为无界变量；

又因为，当 nn 为偶数且 n→∞n \rightarrow \infty 时， xn=1n→0,x _ { n } = \frac { 1 } { n } \rightarrow 0 , 因此，当 n→∞n \rightarrow \infty 时，xnx_{n} 是有界变量，且不是无穷大量。

综上可知，本题应选 (D).

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