§1.1 函数

‣1.1.1 函数的定义

设 $D$ 是一个实数集合，如果有一个对应法则 $f$, 对每一个 $x \in D$, 都能对应唯一的一个实数 $y$, 则这个对应法则 $f$ 称 为定义在 $D$ 上的一个函数，记为 $y = f ( x )$,

称 $x$ 为 自变量， $y$ 为因变量， $D$ 为 定义域，并把实数集 $Z = \{ y \mid y = f ( x ) , x \in D \}$ 称为函数的值域

‣1.1.2 函数的特性

1.有界性 设函数 $y = f ( x )$ 在 $X$ 内有定义，若存在正数 $M$, 使 $\forall x \in X$ 时都有 $| f ( x ) | \leqslant$ $M$ 成立，则称 $f ( x )$ 在 $X$ 上有界.如果这样的 $M$ 不存在就称函数 $f ( x )$ 在 $X$ 上无界

注：1)有界性与区间有关，比如函数 $y = \frac { 1 } { x }$ 在区间 $( 1 , 2 )$ 上有界但是在区间(0,1)上无界，所以在讨论函数有没有界的时候一定要指明区间. 2)数列或者函数的有界性可利用极限来进行判断

若 $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = A ,$ 则数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 一定有界. 设则在极限管辖的范围内 $f ( x )$ 有界。 $\lim _ { \left( x \rightarrow x _ { i } \right) } f ( x ) = A ,$ 3)连续和有界的关系 函数 $f ( x )$ 在闭区间 $[ a , b ]$ 上连续，则 $f ( x )$ 必在 $[ a , b ]$ 上有界. 函数 $f ( x )$ 在开区间 $( a , b )$ $\lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f ( x ) , \lim _ { x \rightarrow b ^ { + } } f ( x )$ 内连续，且均存在，则 $f ( x )$ 必在 $( a , b )$ 上有界. 2.奇偶性 设函数 $f ( x )$ 的定义域 $X$ 关于原点对称，若对 $\forall x \in X$, 都有 $f ( - x ) = r = f ( x )$ 则称 $f ( x )$ 在 $X$ 上是奇函数；若对 $\forall x \in X$, 都有 $f ( - x ) = f ( x )$, 则称 $f \mid ( x )$, 在 $X$ 上是偶函数，奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 $y$ 轴对称. 注：判断函数奇偶性的方法

1)利用奇偶性的定义. 关注公 2)结论： 若 $f ( x )$ 可导，则 $f ( x )$ 为奇函数时 $f ^ { \prime } ( x )$ 为偶函数； $f ( x )$ 为偶函数时 $f ^ { \prime } ( x )$ 为奇函数； 若 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$, 则 $f ( x )$ 为奇函数时 $F ( x )$ 为偶函数；若 $F ( 0 )$ 存在， $f ( x )$ 为 偶函数时 $F ( x )$ 为奇函数的充要条件是 $F ( 0 ) = 0$. 3.周期性 设 $f ( x )$ 在 $X$ 上有定义，如果存在常数 $T > 0$, 使得 $\forall x \in X , x \pm T \in X$, 都有 $f ( x + T ) = f ( x )$, 则称 $f ( x )$ 是周期函数，称 $T$ 为 $f ( x )$ 的周期.通常我们说周

期函数的周期是指最小正周期，但是并不是所有的周期函数都有最小正周期.比如 $f ( x ) = 1 , x \in \mathrm { R }$. 容易验证这是一个周期函数，任何正数都是它的周期，因为不存在最小的正数所以它没有最小正周期注：判断函数周期性的方法

1)利用周期性的定义， 2)结论：设 $f ( x )$ 可导，则 $f ( x )$ 以 $T$ 为周期时 $f ^ { \prime } ( x )$ 一定是同周期的周期数；设 $F ^ { \prime } ( x ) = f ( x )$, $f ( x )$ 以 $T$ 为周期，当且仅当 $\int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) \mathrm { d } x = 0$ 时老 $R ( x )$ 为周期函数. 考4.单调性

设 $f ( x )$ 在 $X$ 上 有定义，若对 $\forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in X , x _ { 1 } < x _ { 2 }$ 都有 $f \left( x _ { 1 } \right) < f \left( x _ { 2 } \right) ,$ 则关称 $f ( x )$ 在 $X$ 上单调增加，同理，若对 $\forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in X , x _ { 1 } < x _ { 2 }$ 都有 $f \left( x _ { 1 } \right) >$ $f \left( x _ { 2 } \right) ,$ 则称 $f ( x )$ 在 $X$ 上单调减少；

若对 $\forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in X , x _ { 1 } < x _ { 2 }$, 都有 $f \left( x _ { 1 } \right) \leqslant f \left( x _ { 2 } \right) \left( f \left( x _ { 1 } \right) \geqslant f \left( x _ { 2 } \right) \right)$ 则称 $f ( x )$ 在 $X$ 上单调不减（单调不增）. 注：判断函数单调性的方法

1)利用单调性的定义. 2)借助导函数的符号来证明函数的单调性. 模型：若 $\forall x \in D , f ^ { \prime } ( x ) > 0$, 则 $f ( x )$ 在 $D$ 上单调递增；同理，若 $\forall x \in D$, $f ^ { \prime } ( x ) < 0$, 则 $f ( x )$ 在: $D$ 上单调递减

‣1.1.3 函数的分类

1.基本初等函数考 (1)幂函数 $y = x ^ { a } ( \alpha$ 常数). (2)指数函数 $y = a ^ { x } ( a > 0 , a \neq 1$ 常数)， $y = \mathrm { e } ^ { x } ( \mathrm { e } = 2 . 7 1 8 2 \cdots$, 无理数). (3)对数函数 $y = \log _ { a } x ( a > 0 , a \neq 1$ 常数). 常用对数 $y = \log _ { 1 0 } x = \lg x$, 自然对数 $y = \log _ { \mathrm { e } } x = \ln x$. 常用的对数性质： $\log _ { a } x y = \log _ { a } x + \log _ { a } y ; \log _ { a } x ^ { m } = m \log _ { a } x$. 我们常说的 $“ \mathrm { e }$ 抬起法”就是基于指数与对数的关系给出的. ${ } ^ { u } \mathrm { e }$ 抬起法”： $u ( x ) ^ { v ( x ) } = \mathrm { e } ^ { \ln u ( x ) ^ { u ( x ) } } = \mathrm { e } ^ { v ( x ) \ln u ( x ) } \quad ( u ( x ) > 0 )$. (4)三角函数 $y = \sin x ; y = \cos x ; y = \tan x ; y = \cot x ; y = \sec x ; y = \csc x$ 三角函数的诱导公式，倍角半角公式，和差化积，积化和差公式都要求大家熟记， (5)反三角函数 $y = \arcsin x ; y = \arccos x ; y = \arctan x ; \arctan x$.

熟记基本初等函数的概念，性质及其图像. 2.初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和复合运算得到的可以用一个式子来表达的函数称为初等函数. 初等函数在定义区间内处处连续.

3,复合函数 设 $y = f ( u )$ 的定义域为 $U , u = g ( x )$ 的定义域为 $X$, 值域为 $U ^ { * }$. 如果 $U ^ { * } \subset$ $U |$, 则 $y = f [ g ( x ) ]$ 是定义在 $X$ 上的一个复合函数，其中 $u$ 称为中间变量. 4.分段函数 如果对于自变量在定义域内不同的取值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示，这类函数称为分段函数.通常表示为： $y = f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } f _ { 1 } ( x ) , & x \in I _ { 1 } , \\ f _ { 2 } ( x ) , & x \in I _ { 2 } , \\ \vdots & \vdots \\ f _ { n } ( x ) , & x \in I _ { n } . \end{array} \right.$

注：1)分段函数是一个函数（不是几个），许多求极限，求导，求积分的真题都与分段函数有关 2)以下几类函数也是分段函数 ①符号函数： $y = \operatorname { s g n } x = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & x > 0 \\ 0 , & x = 0 \\ - 1 , & x < 0 \end{array} \right.$ ②绝对值函数： $y = | f ( x ) |$; ③取整函数： $y = [ f ( x ) ]$; 取整函数的常用结论：

$x - 1 < [ x ] \leqslant x ; [ x + n ] = [ x ] + n ; n [ x ] \leqslant n x ; [ x + y ] \geqslant [ x ] + [ y ] .$ ④ $y = \max \{ f ( x ) , g ( x ) \}$; ⑤ $y = \min \{ f ( x ) , g ( x ) \}$. 5.反函数 若 $y = f ( x )$ 可以解出 $x = \varphi ( y )$ 是一个单值函数，则称它为 $f ( x )$ 的反函数，记为 $x = f ^ { - 1 } ( y )$. 简单地说，由 $y = f⁡⁡\left(x\right)\rightarrow x = f^{⁡}\left(y\right)._{反⁢⁢⁢解⁢⁢⁢出⁢⁢⁢x}$ 例如 $y = x ^ { 2 } ( x \geqslant 0 )$ 解出 $x = \sqrt { y } ( y \geqslant 0 )$. 值得注意的是，若将 $x = f ^ { - 1 } ( y )$ 与 $y = f ( x )$ 的函数图像画在同

一个坐标系中，它们是重合的，只有将 $y = f ( x )$ 的反函数 $x = f ^ { - 1 } ( y )$ 写成 $y = f ^ { - 1 } ( x )$ 后， 它们的图像才关于直线 $y = x$ 对称，所以通常我们所说的反函数与原来的函数图像关于直线 $y = x$ 对称，值域定义域互换都是因为互换了字母 $x , y$. 6.隐函数 一般的，如果变量 $x , y$ 满足一个方程 $F ( x , y ) = 0$, 在一定条件下，当 $x$ 取某区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 $y$ 值存在，那么就说方程 $F ( x , y ) = 0$ 在该区间内确定了一个隐函数.

定义中提到的“在一定的条件下”是什么条件呢？下面给出的隐函数存在定理可以帮助我们回答这个问题.

隐函数存在定理：设 $F ( x , y ) = 0$, 且 $F ( x , y )$ 在 $\left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 的某一邻域具有连续的偏导数，且 $F \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) = 0 ,$ 若 $F _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) \neq 0 ,$ 则方程 $F ( x , y ) = 0$ 在点 $\left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y = f ( x )$ 它满足条件 $y _ { 0 } =$ $f \left( x _ { 0 } \right) ,$ 且 $\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { ~ d } x } = - \frac { F _ { x } } { F _ { y } }$, 其中 $F _ { x } , F _ { y }$ 是二元函数 $F ( x , y )$ 对 $x , y$ 的偏导数.

不难看出，我们说的隐函数存在是在某个邻域内存在， $y = f ( x )$ 存在的条件是$F _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) \neq 0 .$ 7.由参数方程定义的函数（数一、数二） 若参数方程 $\left\{ \begin{array} { l } x = \varphi ( t ) \\ y = \psi ( t ) \end{array} \right.$ 确 定了 $y$ 与 $x$ 之 间的函数关系，则称此函数关系式为由参数方程确定的函数.这种函数真正的自变量是 $t , x , y$ 都 是 $t$ 的函数形式.