Skip to main content

§1.1. 分段&复合函数

更高质量的考研数学精讲请访问「荒原之梦考研数学」 Ultra 版：www.zhaokaifeng.com

001​

题目

设 g⁡⁡(x)={2−x,x⩽0,x+2,x>0,f⁡⁡(x)={x2,x<0,−x,x⩾0,g⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} 2−x, & x⩽0, \\ x + 2, & x > 0, \\ \end{matrix}f⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} x^{2}, & x < 0, \\ −x, & x⩾0, \\ \end{matrix}\right.\right. 则 g[f(x)]=g [ f ( x ) ] = ()

(A) {2+x2,x<0,2−x,x⩾0.\left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 - x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right. (B) {2−x2,x<0,2+x,x⩾0.\left\{ \begin{array} { l l } 2 - x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

(C) {2−x2,x<0,2−x,x⩾0.\left\{ \begin{array} { l l } 2 - x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 - x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right. (D) {2+x2,x<0,2+x,x⩾0.\left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

知识点

  • 含有平方的分段函数

解析

分段分析如下：

  • 当 x<0x < 0 时，f(x)=x2>0f ( x ) = x ^ { 2 } > 0, 所以 g[f(x)]=g(x2)=x2+2g [ f ( x ) ] = g \left( x ^ { 2 } \right) = x ^ { 2 } + 2;

  • 当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=−x⩽0f ( x ) = - x \leqslant 0 , 所以 g[f(x)]=g(−x)=2−(−x)=2+xg [ f ( x ) ] = g ( - x ) = 2 - ( - x ) = 2 + x.

综上 g[f(x)]={2+x2,x<0,2+x,x⩾0.g [ f ( x ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

于是可知，本题应选 (D).

002​

题目

已知 f(x)={1,∣x∣⩽1,0,∣x∣>1,f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 , \end{array} \right. 则 f{f[f(x)]}f \{ f [ f ( x ) ] \} 等于()

(A) 0 (B)1 (C) {1,∣x∣⩽1,0,∣x∣>1.\left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 . \end{array} \right. (D) {0,∣x∣⩽1,1,∣x∣>1.\left\{ \begin{array} { l l } 0 , & | x | \leqslant 1 , \\ 1 , & | x | > 1 . \end{array} \right.

知识点

  • 含有根号的分段函数

解析

由于 f(x)={1,∣x∣⩽1,0,∣x∣>1,f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 , \end{array} \right. 所以 ∣f(x)∣⩽1| f ( x ) | \leqslant 1 , 于是：

f[f(x)]={1,∣f(x)∣⩽1,0,∣f(x)∣>1,=f(1)=1f [ f ( x ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | f(x) | \leqslant 1 , \\ 0 , & | f(x) | > 1 , \end{array} \right. = f ( 1 ) = 1

类似地，可得 f{f[f(x)]}=f(1)=1f \{ f [ f ( x ) ] \} = f ( 1 ) = 1 .

于是可知，本题应选 (B).

003​

题目

已知 f(x)={x2,x⩽0,x2+x,x>0f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ x ^ { 2 } + x , & x > 0 \end{array} \right. 那么 ()

(A) f(−x)={−x2,x⩽0,−(x2+x),x>0.f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } - x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ - \left( x ^ { 2 } + x \right) , & x > 0 . \end{array} \right. (B) f(−x)={−(x2+x),x<0,−x2,x⩾0.f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } - \left( x ^ { 2 } + x \right) , & x < 0 , \\ - x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

(C) f(−x)={x2,x⩽0,x2−x,x>0.f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ x ^ { 2 } - x , & x > 0 . \end{array} \right. (D) f(−x)={x2−x,x<0,x2,x⩾0.f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } - x , & x < 0 , \\ x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

知识点

  • 自变量取反的分段函数

解析

分段分析如下：

  • 当 x<0x < 0 时，−x>0- x > 0 , 故 f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−xf ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + ( - x ) = x ^ { 2 } - x;
  • 当 x⩾0x \geqslant 0 时，有 −x⩽0- x \leqslant 0 , 故 f(−x)=(−x)2=x2f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } = x ^ { 2 }.

综上：

f(−x)={x2−x,x<0,x2,x⩾0.f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } - x , & x < 0 , \\ x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.

于是可知，本题应选 (D).

004​

题目

已知 f(x)=sin⁡x,f[φ(x)]=1−x2f ( x ) = \sin x , f [ \varphi ( x ) ] = 1 - x ^ { 2 } , 则 φ(x)=?\varphi ( x ) =?, 其定义域是多少？

知识点

  • 复合函数

解析

答案： arcsin⁡(1−x2)\arcsin \left(1-x^2\right) 、[−2,2][-\sqrt{2}, \sqrt{2}] ．

解析：首先 f(x)=sin⁡x⇒f[φ(x)]=sin⁡φ(x)f(x)=\sin x \Rightarrow f[\varphi(x)]=\sin \varphi(x) 于是 f[φ(x)]=1−x2⇒sin⁡φ(x)=1−x2⇒φ(x)=arcsin⁡(1−x2)f[\varphi(x)]=1-x^2 \Rightarrow \sin \varphi(x)=1-x^2 \Rightarrow \varphi(x)=\arcsin \left(1-x^2\right) .

由于 ∣1−x2∣⩽1⇒−1⩽1−x2⩽1⇒0⩽x2⩽2\left|1-x^2\right| \leqslant 1 \Rightarrow -1 \leqslant 1-x^2 \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant x^2 \leqslant 2 所以 ∣x∣⩽2⇒−2⩽x⩽2|x| \leqslant \sqrt{2} \Rightarrow -\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{2} ，即定义域为 [−2,2][-\sqrt{2}, \sqrt{2}].

005​

题目

设函数 f(x)={1,∣x∣⩽1,0,∣x∣>1.f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 . \end{array} \right. 则函数 f[f(x)]=?f [ f ( x ) ] = ?

知识点

  • 分段函数
  • 复合函数

解析

答案：1 解析：当 ∣x∣⩽1|x| \leqslant 1 时，f(x)=1f(x)=1 ，故 f[f(x)]=f(1)=1f[f(x)]=f(1)=1 当 ∣x∣>1|x|>1 时，f(x)=0f(x)=0 ，故 f[f(x)]=f(0)=1f[f(x)]=f(0)=1 于是 f[f(x)]=1f[f(x)]=1

更高质量的考研数学精讲请访问「荒原之梦考研数学」 Ultra 版：www.zhaokaifeng.com