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§2.1. 导数与微分

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001​

题目

设函数 f(x)=(ex−1)(e2x−2)⋯(enx−n),f ( x ) = \left( \mathrm { e } ^ { x } - 1 \right) \left( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 \right) \cdots \left( \mathrm { e } ^ { n x } - n \right) , 其中 nn 为正整数，则 f′(0)=?f ^ { \prime } ( 0 ) = ?

(A) (−1)n−1(n−1)!( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) !.

(B) (−1)n(n−1)!( - 1 ) ^ { n } ( n - 1 ) !.

(C) (−1)n−1n!( - 1 ) ^ { n - 1 } n !.

(D) (−1)nn!( - 1 ) ^ { n } n !.

知识点

  • 一点处导数的定义

答案

(A)

解析

利用导数的定义，可知：

f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0(ex−1)(e2x−2)⋯(enx−n)x=lim⁡x→0x(e2x−2)⋯(enx−n)x=(1−2)(1−3)⋯(1−n)=(−1)n−1(n−1)!\begin{aligned} f ^ { \prime } ( 0 ) = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) - f ( 0 ) } { x - 0 } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( \mathrm { e } ^ { x } - 1 \right) \left( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 \right) \cdots \left( \mathrm { e } ^ { n x } - n \right) } { x } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \left( \mathrm { e } ^ { 2 x } - 2 \right) \cdots \left( \mathrm { e } ^ { n x } - n \right) } { x } \\ = & ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) \cdots ( 1 - n ) \\ = & ( - 1 ) ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! \end{aligned}

故应选(A).

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