§1.2 极限

‣1.2.1 数列极限

1.定义 $\forall \varepsilon > 0 , \exists$ 正整数 $N$, 使 $n > N$ 时，不等式 $\left| x _ { n } - A \right| < \varepsilon$ 都成立，则称当 $n \rightarrow \infty$ 时， 数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 以常数 $A$ 为极限（或称 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于 $A$ )，记为 $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = A ,$ 否则称 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 不收敛或发散. 注：1)数列极限是一个异于 $n$ 的常数.

2)数列极限是否存在与数列前有限项无关. 2.收敛数列与其子数列之间的关系 【定理】如果数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 收敛于 $A$, 那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $A$.

数列极限存在的充要条件： $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = A \Leftrightarrow \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { 2 n - 1 } = A .$

‣1.2.2 函数的极限

(1) $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = A \Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $X > 0$, 当 $| x | > X$ 时，就有$| f ( x ) - A | < \varepsilon .$ (2) $\lim _ { x \rightarrow + \infty } f ( x ) = A \Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $X > 0$, 当 $x > X$ 时，就有 $| f ( x ) - A | < \varepsilon$.

(3) $\lim _ { x \rightarrow - \infty } f ( x ) = A \Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $X > 0$, 当 $x < - X$ 时，就有$| f ( x ) - A | < \varepsilon .$

(4) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 1 } } f ( x ) = A \Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在正数 $\delta$, 当 $0 < \left| x - x _ { 0 } \right| < \delta$ 时，就有$f ( x ) - A | < \varepsilon .$ (5) $\lim _ { x \rightarrow x _ { i } ^ { \prime } } f ( x ) = A$ (用 $f \left( x _ { 0 } + 0 \right)$ 或 $f \left( x _ { 0 } ^ { + } \right)$ 表示 $f ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 的右极限值)

$\Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在正数 $\delta$, 当 $0 < x - x _ { 0 } < \delta$ 时，就有 $| f ( x ) - A | < \varepsilon$. (6) $\lim _ { x \rightarrow x _ { s } } f ( x ) = A$ (用 $f \left( x _ { 0 } - 0 \right)$ 或 $f \left( x _ { 0 } ^ { - } \right)$ 表示 $f ( x )$ 在 $x _ { 0 }$ 的左极限值) $\Leftrightarrow$ 任给 $\varepsilon > 0$, 存在正数 $\delta$, 当 $- \delta < x - x _ { 0 } < 0$ 时，就有 $| f ( x ) - A | < \varepsilon$. 极限本质上是自变量在变化过程中，因变量无限接近的一个数 1.定义 2.函数极限存在的充要条件 $\lim _ { x \rightarrow x _ { s } } f ( x ) = A \Leftrightarrow \lim _ { x \rightarrow x _ { s } ^ { + } } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow x _ { s } ^ { + } } f ( x ) = A ,$ $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = A \Leftrightarrow \lim _ { x \rightarrow + \infty } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow - \infty } f ( x ) = A .$ 3.函数极限与数列极限的关系（又称“海涅原理”） 如果极限 $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ 存在， $\left\{ x _ { n } \right\}$ 为函数 $f ( x )$ 的定义域内任一收敛于 $x b _ { 0 }$ 的数列， 且满足 $x _ { n } \neq x _ { 0 } \left( n \in N _ { + } \right) ,$ 那么相应的函数值数列 $\left\{ f \left( x _ { n } \right) \right\}$ 必收敛，且$\lim _ { n \rightarrow \infty } f \left( x _ { n } \right) = \lim _ { x \rightarrow x _ { n } } f ( x ) .$

‣1.2.3 极限的性质

1.极限的唯一性 设 $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = A , \lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = B ,$ 则 $A = B$. 设则 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = A , \lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = B ,$ $A = B$. 2.保号性 (1)若 $\lim _ { x \rightarrow x _ { i } } f ( x ) = A > 0 ,$ 则 $\exists \delta > 0$, 当 $0 < \left| x - x _ { 0 } \right| < \delta$ 时， $f ( x ) > 0$. (2)若 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = A > 0 ,$ 则 $\exists X > 0$, 当 $| x | > X$ 时，有 $f ( x ) > 0$.

(3)若 $f ( x ) > 0$ 且 $\lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = A ,$ 则 $A \geqslant 0$. 3.有界性（或局部有界性） (1)若 $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a$ 存在，则 $\exists M > 0$, 使对一切 $n , \left| x _ { n } \right| \leqslant M .$ (2)若 $\lim _ { x \rightarrow x _ { i } } f ( x ) = A$ 存在，则 $\exists \delta > 0 , M > 0$, 当 $0 < \left| x - x _ { 0 } \right| < \delta$ 时，有 $| f ( x ) | \leqslant M$. (3)若存在，则 $\lim _ { x \rightarrow \infty } f ( x ) = A$ $\exists X > 0 , M > 0$, 当 $| x | > X$ 时，有 $| f ( x ) | \leqslant M$.

‣1.2.4 极限的运算法则

在同一个极限趋近过程中，假设 $\lim f ( x ) = A , \lim g ( x ) = B$, 则 (1) $\lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = A + B$. (2) $\lim [ f ( x ) - g ( x ) ] = A - B$. (3 $\lim [ f ( x ) \cdot g ( x ) ] = A \cdot B$. (4) $\lim \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = \frac { A } { B } ( B \neq 0 )$. 2.极限的复合运算法则 设函数 $y = f [ g ( x ) ]$ 是由函数 $u = g ( x )$ 与函数 $y = f ( u )$ 复合而成， $f [ g ( x ) ]$ 在点 $x _ { 0 }$ 的某去心邻域内有定义，若 $\lim _ { x \rightarrow x _ { i } } g ( x ) = u _ { 0 } , \lim _ { n \rightarrow w _ { i } } f ( u ) = A ,$ 且存在 $\delta _ { 0 } < 0$, 当 $0 <$ $\left| x - x _ { 0 } \right| < \delta _ { 0 }$ 时有 $g ( x ) \neq u _ { 0 }$, 则 $\lim _ { x \rightarrow x _ { s } } f [ g ( x ) ] = \lim _ { n \rightarrow x _ { s } } f ( u ) = A .$

3.幂指函数运算法则 设 $y = u ( x ) ^ { v ( x ) } ( u ( x ) > 0 , u ( x ) \neq 1 )$, 如果 $\lim u ( x ) = a > 0 , \lim v ( x ) = b$, 则 $\lim u ( x ) ^ { v ( x ) } = a ^ { b } .$

‣1.2.5 两个重要极限

1. $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { x } = 1 ,$ 一般地， $\lim \square = 0 ( \square \neq 0 ) \Rightarrow \lim \frac { \sin \square } { \square } = 1$.
2. $\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = \mathrm { e } ; \lim _ { x \rightarrow 0 } ( 1 + x ) ^ { \frac { 1 } { x } } = \mathrm { e } ;$ 一般地， $\lim \square = 0 ( \square \neq 0 ) \Rightarrow \lim ( 1 + \square ) ^ { \frac { 1 } { \square } } = \mathrm { e } .$ 若 $\lim f ( x ) = 1 , \lim g ( x ) = \infty$, 则称 $\lim f ( x ) ^ { g ( x ) }$ 为 $1 ^ { \infty }$ 型未定式，而第二重要极限是处理 $1 ^ { \infty }$ 型未定式非常好用的方法

‣1.2.6 无穷小

1.无穷小的定义 若则称 $f ( x )$ 为 $x \rightarrow x _ { 0 } ( x \rightarrow \infty )$ 时的无穷小. $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x ) = 0 ,$ 换句话说，无穷小量就是以0为极限的量. 注：常函数0是唯一一个为常数的无穷小量.

2.无穷小的性质 【性质1】有限个无穷小的和、差、积均为无穷小. 【性质2】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 3.极限与无穷小的关系 $\lim f ( x ) = A \Leftrightarrow f ( x ) = A + \alpha ( x )$, 其中 $\lim \alpha ( x ) = 0$. 若当 $x \rightarrow x _ { 0 } ( x \rightarrow \infty )$ 时 $| f ( x ) |$ 可以无限增大，则称 $f ( x )$ 为 $x \rightarrow x _ { 0 } ( x \rightarrow \infty )$ 时的无穷大量，记作$\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x ) = \infty .$

注：无穷大是一个变量，它与很大的数不同；另外，无穷大和无界也不同，无穷大一定无界，但是无界不一定为无穷大 5.无穷小与无穷大的关系 在 $x$ 的同一个变化过程中，若 $f ( x )$ 为无穷大，则 $\frac { 1 } { f ( x ) }$ 为无穷小；若 $f ( x )$ 为无穷小，且 $f ( x ) \neq 0$, 则 $\frac { 1 } { f ( x ) }$ 为无穷大. 6.无穷小的比较 (1)设 $\lim f ( x ) = 0 , \lim g ( x ) = 0$, 且 $\lim \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = l$.

1. $l = 0$, 称 $f ( x )$ 是比 $g ( x )$ 高阶的无穷小或 $g ( x )$ 是比 $f ( x )$ 低阶的无穷小， 记作 $f ( x ) = o [ g ( x ) ]$; 2) $l \neq 0$, 称 $f ( x )$ 是与 $g ( x )$ 同阶的无穷小；

2. $l = 1$, 称 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 是等价的无穷小，记 $f ( x ) \sim g ( x )$; 4)若 $\lim \frac { f ( x ) } { g ^ { k } ( x ) } = l \neq 0$, 则称 $f ( x )$ 为 $g ( x )$ 的 $k$ 阶无穷小. (2)常见的等价无穷小 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x , \quad \tan x \sim x , \quad \arcsin x \sim x , \quad \arctan x \sim x ,$ $1 - \cos x \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } , \quad \mathrm { e } ^ { x } - 1 \sim x , \quad a ^ { x } - 1 \sim x \cdot \ln a , \quad \ln ( 1 + x ) \sim x ,$ $x - \ln ( 1 + x ) \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } , ( 1 + x ) ^ { a } - 1 \sim \alpha x , x - \sin x \sim \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } \sim \arcsin x - x ,$ $\tan x - x \sim \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \sim x - \arctan x , \tan x - \sin x \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } \sim \arcsin x - \arctan x .$

(3)等价无穷小替换求极限 【定理】设 $\alpha \sim \alpha _ { 1 } , \beta \sim \beta _ { 1 }$, 且 $\lim \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } }$ 存在，则 $\lim \frac { \alpha } { \beta } = \lim \frac { \alpha _ { 1 } } { \beta _ { 1 } }$.

‣1.2.7 洛必达法则

设(1)当 $x \rightarrow a$ 时，函数 $f ( x )$ 及 $F ( x )$ 都趋于零（或都趋于无穷大）； (2)在点 $a$ 的某去心邻域内， $f ^ { \prime } ( x )$ 及 $F ^ { \prime } ( x )$ 都存在且 $F ^ { \prime } ( x ) \neq 0$; ( $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) }$ 存在（或为无穷大）， 那么 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) } { F ( x ) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) } .$ 注：1)当 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) }$ 存在时， $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) } { F ( x ) }$ 也存在且等于 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) } ;$ 关注公 当 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) }$ 为无穷大时， $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) } { F ( x ) }$ 也为无穷大。 反之不成立，即 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { F ^ { \prime } ( x ) }$ 不存在（不为无穷大时）推不出 $\lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ( x ) } { F ( x ) }$ 不存在， 比如计算极限 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x + \sin x } { x }$ 就不能使用洛必达法则. 2)将上述定理中的 $x \rightarrow a$ 换成 $x \rightarrow \infty$ 就能得到相应的 $x \rightarrow \infty$ 时的洛必达法则，读者可以自行写出

3. $0 \times \infty , \infty - \infty , 0 ^ { 0 } , 1 ^ { \infty } , \infty ^ { 0 }$ 型未定式，均可通过恒等变形转换成 $\frac { 0 } { 0 }$ 或 $\frac { \infty } { \infty }$ 型的未定式进行计算、

‣1.2.8 极限存在的两个准则

1.夹逼准则 关注公 如果数列 $\left\{ x _ { n } \right\} , \left\{ y _ { n } \right\} , \left\{ z _ { n } \right\}$ 满足下列条件： ①从某项起，即 $\exists N$, 当 $n > N$ 时，有 $y _ { n } \leqslant x _ { n } \leqslant z _ { n }$; ② $\lim _ { n \rightarrow \infty } y _ { n } = a , \lim _ { n \rightarrow \infty } z _ { n } = a ,$ 那么数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 的极限存在，且 $\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n } = a .$ 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 如果当 $0 < \left| x - x _ { 0 } \right| < \delta$ (或 $| x | > M )$ 时， $g ( x ) \leqslant f ( x ) \leqslant h ( x )$, 且则$\lim _ { x \rightarrow x \rightarrow \infty } g ( x ) = A , \lim _ { x \rightarrow x \rightarrow \infty } h ( x ) = A ,$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x ) = A .$

2.单调有界原理单调有界数列必有极限. 注：单调有界原理是证明数列极限存在常用的一种方法，它不能用于求极限，对于递推数列（即数列通项存在递推关系如 $\left. x _ { n + 1 } = f \left( x _ { n } \right) \right)$ 证明极限存在常用此法则