§1.4. 无穷小量和无穷大量

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001

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是（ ）

(A) 无穷小

(B) 无穷大

(C) 有界的，但不是无穷小

(D) 无界的，但不是无穷大

知识点

• 等价无穷小
• 函数的极限
• 函数的有界性

解析

本题可以用取特殊点的方式求解。

• 当 $x \rightarrow 0$ 时，若令 $x = \frac { 1 } { 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } }$, 其中 $n \rightarrow \infty$, 则：

$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x } = \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 } \sin \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) = \left( 2 n \pi + \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 } \rightarrow \infty$

于是可知，此时的 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是无界的。

• 当 $x \rightarrow 0$ 时，若令 $x = \frac { 1 } { n \pi }$, 其中 $n \rightarrow \infty$, 则：

$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x } = ( n \pi ) ^ { 2 } \sin ( n \pi ) = 0$

于是可知，此时的 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 是有界的。

由于，若 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 有界，那么，其所有分量都要有界，但很显然，$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 至少有一个分量无界。

同样，若 $\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 为无穷大，那么，其左右分量都要为无穷大，但很显然，$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sin \frac { 1 } { x }$ 至少有一个分量不是无穷大。

于是可知，本题应选 (D).

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002

题目

设函数 $f ( x ) = \arctan x$, 若 $f ( x ) = x f ^ { \prime } ( \xi )$, 则 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \xi ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } =$ () (A) 1. (B) $\frac { 2 } { 3 }$. (C) $\frac { 1 } { 2 }$. (D) $\frac { 1 } { 3 }$.

知识点

• 无穷小的比阶

解析

由于 $f ( x ) = \arctan x$, 所以 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } }$.

又由题可知 $f ( x ) = x f ^ { \prime } ( \xi )$, 即：

$$\frac { \arctan x } { x } = \frac { 1 } { 1 + \xi ^ { 2 } } \Rightarrow \xi ^ { 2 } = \frac { x - \arctan x } { \arctan x }$$

于是：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \xi ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { 2 } \arctan x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 }$$

综上可知，D 选项正确。

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003

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 则 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 + f ( x ) } { x ^ { 2 } }$ 为()

(A)0. (B)6. (C)36. (D) $\infty$

知识点

• 等价无穷小

解析

对要求解的式子做变形即可：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 + f ( x ) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) + 6 x - \sin 6 x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin 6 x + x f ( x ) } { x ^ { 3 } } + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 6 x - \sin 6 x } { x ^ { 3 } }$

$= 0 + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 6 } ( 6 x ) ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = 0 + \frac { 1 } { 6 } \times 6 ^ { 3 } = 3 6$

综上可知，应选 (C).

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004

题目

已知 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x - b \right) = 0 ,$ 其 中 $a , b$ 是常数，则 ()

(A) $a = 1 , b = 1$. (B) $a = - 1 , b = 1$. $a = 1 , b = - 1$. (D) $a = - 1 , b = - 1$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x - b \right) = 0 ,$ 得：

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } - a x \right) = b \Rightarrow \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { ( 1 - a ) x ^ { 2 } - a x } { x + 1 } \right] = b \Rightarrow \lim _ { x \rightarrow \infty } \left[ \frac { ( 1 - a ) x ^ { 2 } - a x } { x } \right] = b$$

于是可知：

$$\begin{cases} 1 - a = 0 \\ - a = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases}$$

综上可知，应选 (C).

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005

题目

已知极限 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { k } } = c ,$ 其中 $k , c$ 为常数，且 $c \neq 0$, 则 ( )

(A) $k = 2 , c = - \frac { 1 } { 2 }$. (B) $k = 2 , c = \frac { 1 } { 2 }$.

(C) $k = 3 , c = - \frac { 1 } { 3 }$. (D) $k = 3 , c = \frac { 1 } { 3 }$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由于 $c \neq 0$, 且：

$$c = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \arctan x } { x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { k } }$$

所以 $k = 3 , c = \frac { 1 } { 3 }$, 所以应选 (D).

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006

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { 1 } { x } - \left( \frac { 1 } { x } - a \right) \mathrm { e } ^ { x } \right] = 1 ,$ 则 $a$ 等于 ( )

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

知识点

• 等价无穷小

解析

由 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { 1 } { x } - \left( \frac { 1 } { x } - a \right) \mathrm { e } ^ { x } \right] = 1 ,$ 可得：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { x } } { x } + \lim _ { x \rightarrow 0 } a \mathrm { e } ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - x } { x } + a = - 1 + a = 1 \Rightarrow a = 2$

综上可知，应选 (C).

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007

题目

设 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \tan x + b ( 1 - \cos x ) } { c \ln ( 1 - 2 x ) + d \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \right) } = 2 ,$ 其中 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } \neq 0$, 则必有 ( )

(A) $b = 4 d$. (B) $b = - 4 d$.

(C) $a = 4 c$. (D) $a = - 4 c$

知识点

• 等价无穷小

解析

由题可知：

$2 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \tan x + b ( 1 - \cos x ) } { c \ln ( 1 - 2 x ) + d \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } \right) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a \cdot \frac { \tan x } { x } + b \cdot \frac { 1 - \cos x } { x } } { c \cdot \frac { \ln ( 1 - 2 x ) } { x } + d \cdot \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } } } { x } } = \frac { a \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { x } + b \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } { x } } { c \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - 2 x } { x } + d \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } } { x } } = \frac { a } { - 2 c }$

于是可知，$a = - 4 c$, 故应选 (D).

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008

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x \right) ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } = 1 ,$ 则()

(A) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. (B) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$.

(C) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$. (D) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = 1$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由于：

$\begin{aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x \right) ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { e ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } } \cdot \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } \\ = & (2-1)^{0} = \mathrm { e } ^ { 0 } \end{aligned}$

又：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { e ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } } = \mathrm { e }$$

故 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } = 0$, 从而：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } + b x - 1 } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + a x ^ { 2 } + b x - 1 + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$$ $$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( a + \frac { 1 } { 2 } \right) x ^ { 2 } + ( b + 1 ) x + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0$$

得 $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. 故应选(B).

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009

题目

设 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \ln ( 1 + x ) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 2 ,$ 则()

(A) $a = 1 , b = - \frac { 5 } { 2 }$. (B) $a = 0 , b = - 2$. (C) $a = 0 , b = - \frac { 5 } { 2 }$. (D) $a = 1 , b = - 2$.

知识点

• 等价无穷小

解析

因为：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \ln ( 1 + x ) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) - \left( a x + b x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$$ $$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - a ) x - \left( \frac { 1 } { 2 } + b \right) x ^ { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 2$$

于是 $a = 1 , - \frac { 1 } { 2 } - b = 2$, 即 $b = - \frac { 5 } { 2 }$. 因此应选 (A)

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010

题目

设 $\alpha _ { 1 } = x ( \cos \sqrt { x } - 1 ) , \alpha _ { 2 } = \sqrt { x } \ln ( 1 + \sqrt [ 3 ] { x } ) , \alpha _ { 3 } = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } - 1$. 当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )

(A) $\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 }$. (B) $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 1 }$.

(C) $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 3 }$. (D) $\alpha _ { 3 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 1 }$

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时：

$\alpha _ { 1 } = x ( \cos \sqrt { x } - 1 ) \sim x \left( - \frac { 1 } { 2 } x \right) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$；

$\alpha _ { 2 } = \sqrt { x } \ln ( 1 + \sqrt [ 3 ] { x } ) \sim \sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x } = x ^ { \frac { 5 } { 6 } }$；

$\alpha _ { 3 } = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } - 1 \sim \frac { 1 } { 3 } x .$

则当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，以上 3 个无穷小量按从低阶到高阶的排序为： $\alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 1 }$, 因此应选 (B).

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011

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x - \tan x$ 与 $x ^ { k }$ 是同阶无穷小，则 $k =$ ()

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

由题可知：$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan x } { x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { k } } = l \neq 0$, 于是可知，$k = 3$, 选 C.

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012

题目

设 $p ( x ) = a + b x + c x ^ { 2 } + d x ^ { 3 }$. 当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p ( x ) - \tan x$ 是比 $x ^ { 3 }$ 高阶的无穷小量，则下列选项中错误的是 ()

(A) $a = 0$. (B) $b = 1$. (C) $c = 0$. (D) $d = \frac { 1 } { 6 }$.

知识点

• 等价无穷小
• 极限式中未知参数求解

解析

由题知 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { p ( x ) - \tan x } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 即：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x + c x ^ { 2 } + \mathrm { d } x ^ { 3 } - \tan x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x + c x ^ { 2 } + d x ^ { 3 } - x + x - \tan x } { x ^ { 3 } } = 0$

从而 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x - x + c x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } + d + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan r } { x ^ { 3 } } = 0 ,$ 又 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \tan x } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { 3 } } = - \frac { 1 } { 3 }$

故 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a + b x - x + c x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 } - d ,$ 从而必有 $a = 0 , b = 1 , c = 0$,

于是可知 $d = \frac { 1 } { 3 }$. 因此应选 D.

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013

题目

设 $\cos x - 1 = x \sin \alpha ( x )$, 其中 $| \alpha ( x ) | < \frac { \pi } { 2 }$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$ 是()

(A)比 $x$ 高阶的无穷小量. (B)比 $x$ 低阶的无穷小量. (C)与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量. (D)与 $x$ 等价的无穷小量.

知识点

• 同阶但不等价的无穷小

解析

由于：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \alpha ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin \alpha ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \sin \alpha ( x ) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x - 1 } { x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \neq 1$$

所以，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x )$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量。本题应选 C.

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014

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，用 “$o ( x )$”表示比 $x$ 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是 ()

(A) $x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) .$ (B) $o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) .$ (C) $o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 2 } \right) .$ (D) $o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 2 } \right) .$

知识点

• 高阶无穷小
• 加法和乘法对无穷小的影响

解析

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $x \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) ,$ 选项 A 正确；

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) } { x } \cdot \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o ( x ) \cdot o \left( x ^ { 2 } \right) = o \left( x ^ { 3 } \right) ,$ 选项 B 正确；

因 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } + \frac { o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } \right] = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o \left( x ^ { 2 } \right) + o \left( x ^ { 2 } \right) =$ $o \left( x ^ { 2 } \right) ,$ 选项 C 正确；

然而 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x } = 0 ,$ 故 $x \rightarrow 0$ 时， $o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) = o ( x ) ,$ 但 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { o ( x ) + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } }$ 不一定存在，选项 D 不正确。

本题应选 D.

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015

题目

已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f ( x ) = 3 \sin x - \sin 3 x$ 与 $c x ^ { k }$ 是等价无穷小，则 ()

(A) $k = 1 , c = 4$. (B) $k = 1 , c = - 4$. (C) $k = 3 , c = 4$. (D) $k = 3 , c = - 4$.

知识点

• 等价无穷小

解析

由题意知， $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { c x ^ { k } } = 1$, 于是：

$1 = \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin x - \sin 3 x } { c x ^ { k } } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 3 \left[ x - \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] - \left[ 3 x - \frac { 1 } { 6 } ( 3 x ) ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] } { c x ^ { k } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 4 x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) } { c x ^ { k } }$

因此，$c = 4 , k = 3$.

本题应选 C.

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016

题目

设 $f ( x ) = \ln ^ { 1 0 } x , g ( x ) = x , h ( x ) = \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 1 0 } }$, 则当 $x$ 充分大时有 ( )

(A) $g ( x ) < h ( x ) < f ( x )$. (B) $h ( x ) < g ( x ) < f ( x )$. (C) $f ( x ) < g ( x ) < h ( x )$. (D) $g ( x ) < f ( x ) < h ( x )$.

知识点

• 洛必达运算
• 无穷量的比较

解析

由洛必达运算可知：

$$\lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{\ln ^{10}x}{x} = \lim \limits_{x\rightarrow ∞}\frac{10\ln ^{9}x}{x} = ⋯ = \lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{10!}{x} = 0$$

继续由洛必达运算可知：

$$\lim \limits_{x\rightarrow + ∞}\frac{x}{e^{\frac{x}{10}}} = \lim \limits_{x\rightarrow ∞}\frac{1}{\frac{1}{10} \cdot e^{\frac{x}{10}}} = 0$$

因此，当 $x$ 充分大时，有 $f ( x ) = \ln ^ { 1 0 } x < g ( x ) = x < h ( x ) = \mathrm { e } ^ { \frac { x } { 1 0 } }$. 于是，本题应选 C.

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017

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x ) = x - \sin a x$ 与 $g ( x ) = x ^ { 2 } \ln ( 1 - b x )$ 是等价无穷小，则 ( )

(A) $a = 1 , b = - \frac { 1 } { 6 }$. (B) $a = 1 , b = \frac { 1 } { 6 }$. (C) $a = - 1 , b = - \frac { 1 } { 6 }$. (D) $a = - 1 , b = \frac { 1 } { 6 }$.

知识点

• 泰勒公式
• 等价无穷小

解析

由题可知 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = 1 ,$ 即：

$1 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \sin a x } { x ^ { 2 } \ln ( 1 - b x ) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \left[ a x - \frac { 1 } { 6 } ( a x ) ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) \right] } { - b x ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - a ) x + \frac { a ^ { 3 } } { 6 } x ^ { 3 } + o \left( x ^ { 3 } \right) } { - b x ^ { 3 } } ,$

于是 $\left\{ \begin{array} { l } 1 - a = 0 , \\ \frac { a ^ { 3 } } { 6 } = - b , \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } a = 1 , \\ b = - \frac { 1 } { 6 } , \end{array} \right.$ 因此，本题应选 A.

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018

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，若 $\ln ^ { a } ( 1 + 2 x ) , ( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 1 } { a } }$ 均是比 $x$ 高 阶的无穷小，则 $a$ 的取值范围是 ( )

(A) $( 2 , + \infty )$. (B) (1,2) . (C) $\left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right) .$ (D) $\left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right) .$

知识点

• 扩展的等价无穷小

解析

由题可知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$\ln ^ { a } ( 1 + 2 x ) \sim ( 2 x ) ^ { a } \Rightarrow a > 1$

$( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 1 } { a } } \sim \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { a } } \Rightarrow \left( \frac { 1 } { 2 } x \right) ^ { \frac { 2 } { a } } \Rightarrow \frac{2}{a} > 1$

于是可知 $1 < a < 2$.

本题应选 B.

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019

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，与 $\sqrt { x }$ 等价的无穷小量是 ()

(A) $1 - \mathrm { e } ^ { \sqrt { x } }$. (B) $\ln \frac { 1 + x } { 1 - \sqrt { x } }$. (C) $\sqrt { 1 + \sqrt { x } } - 1$. (D) $1 - \cos \sqrt { x }$.

知识点

• 等价无穷小
• 对数函数的乘除变加减

解析

$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln \frac { 1 + x } { 1 - \sqrt { x } } } { \sqrt { x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln ( 1 + x ) } { \sqrt { x } } - \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \ln ( 1 - \sqrt { x } ) } { \sqrt { x } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x } { \sqrt { x } } - \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {- \sqrt { x } } { \sqrt { x } } = 0-(-1) = 1$

本题应选 B.

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020

题目

把 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时的无穷小量 $\alpha = \int _ { 0 } ^ { x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t , \beta = \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \tan \sqrt { t } \mathrm { ~ d } t , \gamma = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t$ 排列起来， 使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 ()

(A) $\alpha , \beta , \gamma$. (B) $\alpha , \gamma , \beta$. (C) $\beta , \alpha , \gamma$. (D) $\beta , \gamma , \alpha$.

知识点

• 高阶无穷小

解析

由于：

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \beta } { \gamma } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } \tan \sqrt { t } \mathrm { ~ d } t } { \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \tan \sqrt { x ^ { 2 } } \cdot 2 x } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \cdot \sin ( \sqrt { x } ) ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { | x | \cdot 2 x } { \frac { 1 } { 2 } x } = 0$

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \gamma } { \alpha } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { \sqrt { x } } \sin t ^ { 3 } \mathrm { ~ d } t } { \int _ { 0 } ^ { x } \cos t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \cdot \sin ( \sqrt { x } ) ^ { 3 } } { \cos x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } } { 2 } = 0$

由高阶无穷小的定义知， $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时， $\beta$ 是 $\gamma$ 的 高阶无穷小， $\gamma$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，本题应选 B.

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021

题目

当 $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，下列无穷小量中最高阶的是 ()

(A) $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { x } } - 1 \right) \mathrm { d } t .$ (B) $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t .$ (C) $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t$. (D) $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$.

知识点

• 无穷小量的比阶
• 积分运算对无穷小的影响

解析

以下的解题步骤中，我们都从 $x \rightarrow 0^+$ 的角度计算。

1. 因为 $\mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \sim x ^ { 2 }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { \prime } } - 1 \right) \mathrm { d } t \sim \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t = \frac { x ^ { 3 } } { 3 }$，于是 $\int _ { 0 } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { t ^ { t } } - 1 \right) \mathrm { d } t$ 是 $x$ 的3阶无穷小；

2. 因为 $\ln \left( 1 + \sqrt { x ^ { 3 } } \right) \sim \sqrt { x ^ { 3 } } = x ^ { \frac { 3 } { 2 } }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t \sim \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \mathrm { ~ d } t = \frac { 2 } { 5 } x ^ { \frac { 5 } { 2 } }$, 于是， $\int _ { 0 } ^ { x } \ln \left( 1 + \sqrt { t ^ { 3 } } \right) \mathrm { d } t$ 是 $x$ 的 $\frac { 5 } { 2 }$ 阶 无穷小；

3. 因为 $\sin x ^ { 2 } \sim x ^ { 2 }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t \sim \int _ { 0 } ^ { \sin x } t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t = \frac { ( \sin x ) ^ { 3 } } { 3 } \sim \frac { x ^ { 3 } } { 3 }$, 于是 $\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t$ 是 $x$ 的3阶无穷小；

4. 因为 $\sqrt { \sin ^ { 3 } x } \sim x ^ { \frac { 3 } { 2 } }$, 所以 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t \sim \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \mathrm { ~ d } t = \frac { 2 } { 5 } ( 1 - \cos x ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } \sim \frac { 2 } { 5 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 0 } x ^ { 5 }$, 于是 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$ 是 $x$ 的5阶无穷小；

综上， $x \rightarrow 0 ^ { + }$ 时，无穷小量中最高阶的是 $\int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sqrt { \sin ^ { 3 } t } \mathrm { ~ d } t$.

本题应选 D.

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022

题目

设当 $x \rightarrow 0$ 时， $( 1 - \cos x ) \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right)$ 是比 $x \sin x ^ { n }$ 高阶的无穷小， $x \sin x ^ { n }$ 是比 $\left( \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于 ( )

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

因 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$( 1 - \cos x ) \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } , x \sin x ^ { n } \sim x ^ { n + 1 } , \mathrm { e } ^ { x ^ { 2 } } - 1 \sim x ^ { 2 }$

于是， $4 > n + 1 > 2$, 从而 $n = 2$. 本题应选 B.

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023

题目

设 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x }$ 与 $x ^ { n }$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为()

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x } = \mathrm { e } ^ { x } \left( \mathrm { e } ^ { \tan x - x } - 1 \right) \sim \mathrm { e } ^ { x } ( \tan x - x ) \sim \tan x - x \sim \frac { x ^ { 3 } } { 3 } ,$

于是 $\mathrm { e } ^ { \tan x } - \mathrm { e } ^ { x }$ 是 $x$ 的3阶无穷小，因此 $n = 3$. 本题应选 C.

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024

题目

设 $f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t , g ( x ) = \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 }$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 是 $g ( x )$ 的

(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但不等价的无究小

知识点

• 等价无穷小

解析

因为 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 - \cos x } \sin t ^ { 2 } \mathrm { ~ d } t } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( 1 - \cos x ) ^ { 2 } \cdot \sin x } { x ^ { 4 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - \cos x ) ^ { 2 } \cdot x } { x ^ { 4 } }$

$= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cdot x } { x ^ { 4 } } = 0 ,$

因此，当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 是 $g ( x )$ 的高阶无穷小，本题应选 B.

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025

题目

设当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right)$ 是比 $x ^ { 2 }$ 高阶的无穷小，则 ( )

(A) $a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$. (B) $a = 1 , b = 1$. (C) $a = - \frac { 1 } { 2 } , b = - 1$. (D) $a = - 1 , b = 1$.

知识点

• 高阶无穷小

解析

如果，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right)$ 是比 $x ^ { 2 }$ 高阶的无穷小，则有：

$$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right) } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) - \left( a x ^ { 2 } + b x + 1 \right) } { x ^ { 2 } } \\ \\= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { ( 1 - b ) x + \left( \frac { 1 } { 2 } - a \right) x ^ { 2 } + o \left( x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } = 0 \\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } 1 - b = 0 , \\ \frac { 1 } { 2 } - a = 0 . \end{array} \right. \Rightarrow a = \frac { 1 } { 2 } , b = 1$$

本题应选(A).

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026

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $x - \sin x$ 是 $x ^ { 2 }$ 的()

(A) 低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C) 等价无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.

知识点

• 高阶无穷小

解析

由于 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x - \sin x } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } } = 0$, 因此，当 $x \rightarrow 0$ 时， $x - \sin x$ 是的高阶无穷小.

本题应选 B.

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027

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量 ()

(A) $x^{2}$. (B) $1 - \cos x$. (C) $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$. (D) $x - \tan x$.

知识点

• 等价无穷小

解析

当 $x \rightarrow 0$ 时：

• $x ^ { 2 }$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $1 - \cos x \sim \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, 故 $1 - \cos x$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1 \sim - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, 故 $\sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$ 是 $x$ 的2阶无穷小；

• $x - \tan x \sim - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 }$, 故 $x - \tan x$ 是 $x$ 的3阶无穷小.

于是，比较可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x - \tan x$ 是比 $x ^ { 2 } , 1 - \cos x , \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } - 1$ 都高阶的无穷小量。本题应选 D.

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028

题目

设 $f ( x ) = 2 ^ { x } + 3 ^ { x } - 2$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时()

(A) $f ( x )$ 是 $x$ 的等价无穷小. (B) $f ( x )$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小. (C) $f ( x )$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小. (D) $f ( x )$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小.

知识点

• 等价无穷小
• 同阶无穷小

解析

由于:

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 ^ { x } + 3 ^ { x } - 2 } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 ^ { x } - 1 } { x } + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 ^ { x } - 1 } { x } = \ln 2 + \ln 3 = \ln 6 \neq 1$

所以，当 $x \rightarrow 0$ 时， $f ( x )$ 与 $x$ 是同阶但非等价的无穷小。本题应选 B.

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029

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \ln \cos x } { x ^ { 2 } } = ?$

知识点

• 无穷小量的比较

解析

答案： $-\frac{1}{2}$ ． 解析：

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\cos x-1)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^2}{x^2}=-\frac{1}{2} .$$

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030

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ 2 - \frac { \ln ( 1 + x ) } { x } \right] ^ { \frac { 1 } { x } } = ?$

知识点

• 无穷小的运算
• 常用的无穷小

答案

$\sqrt{\mathrm{e}}$

解析

由于：

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0}\left[2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}} = &\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+1-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}} \\ = &\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{x-\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{x}{x-\ln (1+x)} \cdot \frac{x-\ln (1+x)}{x^2}} \end{aligned}$

又因为：

$\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{x-\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{x}{x-\ln (1+x)}}=\mathrm{e} \\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{x^2}=\frac{1}{2}$

所以：

$\lim _{x \rightarrow 0}\left[2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}}$.

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031

题目

$\lim _ { x \rightarrow \frac { \pi } { 4 } } ( \tan x ) ^ { \frac { 1 } { \cos x - \sin x } } = ?$

知识点

• 无穷小的运算
• 常用的无穷小

答案

$\mathrm{e}^{-\sqrt{2}}$

解析

由于 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}[1+(\tan x-1)]^{\frac{1}{\tan r-1} \cdot(\tan x-1) \cdot \frac{1}{\cos x-\sin x}}$

又因为 $\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}[1+(\tan x-1)]^{\frac{1}{\tan x-1}}=\mathrm{e} \\ & \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x-1) \cdot \frac{1}{\cos x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan x-1}{\cos x \cdot(1-\tan x)}=-\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos x}=-\sqrt{2} \end{aligned}$

所以 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{1}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=\mathrm{e}^{-\sqrt{2}}$.

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032

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 + 2 ^ { x } } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { x } } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\sqrt{2}$

解析

因为：

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{2^x-1}{2}\right)^{\frac{1}{\frac{2^{x}}{2}-1} \frac{\frac{2^{x}-1}{2}}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{\frac{2^{x}-1}{2}}{x}}$

又：

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2^x-1}{2}}{x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln 2}{x}=\frac{1}{2} \ln 2 \end{aligned}$

所以 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} \ln 2}=\sqrt{2}$.

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033

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \mathrm { e } - \mathrm { e } ^ { \cos x } } { \sqrt [ 3 ] { 1 + x ^ { 2 } } - 1 } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\frac{3}{2} \mathrm{e}$

解析

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\operatorname{mos} x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}\left(1-\mathrm{e}^{\cos x-1}\right)}{\frac{1}{3} x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}(1-\cos x)}{\frac{1}{3} x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e} \cdot \frac{1}{2} x^2}{\frac{1}{3} x^2}=\frac{3}{2} \mathrm{e}$

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034

题目

$\lim _ { x \rightarrow + \infty } \frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 1 } { 2 ^ { x } + x ^ { 3 } } ( \sin x + \cos x ) = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$0$

解析

由于 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2^x}=0$, 且 $\sin x+\cos x$ 是一个有界函数，所以：

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=0$

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035

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \ln ( 1 + x ) } { 1 - \cos x } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$2$

解析

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{\frac{1}{2} x^2}=2$

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036

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n + 1 } { n } \right) ^ { ( - 1 ) ^ { n } } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$1$

解析

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n \cdot \frac{(-1)^{n}}{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{(-1)^{n}}{n}} = \mathrm{e}^{0} = 1$

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037

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \arctan x - \sin x } { x ^ { 3 } } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$-\frac{1}{6}$

解析

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^3} = &\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{x^3}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3} \\ = &\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{3} x^3}{x^3}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} x^3}{x^3}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6} . \end{aligned}$

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038

题目

$\lim _ { x \rightarrow \infty } x \sin \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$2$

解析

$\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{2 x}{x^2+1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+1}=2$

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039

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } ( \cos x ) ^ { \frac { 1 } { \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$

解析

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} (\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}} \\ = & \lim_{x \rightarrow 0}(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1} \cdot(\cos x-1) \cdot \frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{\cos x-1}{\ln \left(1+x^2\right)}} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{-\frac{1}{2} x^2}{x^2}} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}$

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040

题目

$\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { \sqrt { 3 - x } - \sqrt { 1 + x } } { x ^ { 2 } + x - 2 } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$-\frac{\sqrt{2}}{6}$

解析

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}}{x^2+x-2} \\ = &\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x})(\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x})}{(x+2)(x-1)(\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x})} \\ = &\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3-x-1-x}{3(x-1) 2 \sqrt{2}} \\ = &\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-2 x}{3 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot(x-1)}=-\frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned}$

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041

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \arctan x - x } { \ln \left( 1 + 2 x ^ { 3 } \right) } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$-\frac{1}{6}$

解析

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{\ln \left(1+2 x^3\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{3} x^3}{2 x^3}=-\frac{1}{6}$

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042

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x \tan x } \right) = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\frac{1}{3}$

解析

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x^2 \tan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} x^3}{x^3}=\frac{1}{3}$

---

043

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { 1 + x } + \sqrt { 1 - x } - 2 } { x ^ { 2 } } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$-\frac{1}{4}$

解析

根据泰勒公式，可得：

$\begin{aligned} \sqrt{1+x} = &(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} x+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) x^2}{2!}+o\left(x^2\right) \\ = &1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2+o\left(x^2\right), \\ \sqrt{1-x} = &(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2} x+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)(-x)^2}{2!}+o\left(x^2\right) \\ = &1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2+o\left(x^2\right), \end{aligned}$

所以：

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2} = &\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2+1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^2-2+o\left(x^2\right)}{x^2} \\ = &-\frac{1}{4} \end{aligned}$

---

044

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin x + x ^ { 2 } \cos \frac { 1 } { x } } { ( 1 + \cos x ) \ln ( 1 + x ) } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\frac{3}{2}$

解析

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)} \\ = &\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{2 x} \\ = & \frac{3}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}+\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \frac{1}{x} \\ = & \frac{3}{2}+0 \\ = & \frac{3}{2} \end{aligned}$

---

045

题目

$\lim _ { x \rightarrow \infty } x \left[ \sin \ln \left( 1 + \frac { 3 } { x } \right) - \sin \ln \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) \right] = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$2$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] \\ = & \lim _{x \rightarrow \infty} x \cdot \sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\lim _{x \rightarrow \infty} x \cdot \sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right) \\ = & \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \frac{3}{x}\right)-\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \frac{1}{x}\right) \\ = & 2 \end{aligned}$

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046

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } ( 1 + 3 x ) ^ { \frac { 2 } { \sin x } } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\mathrm{e}^6$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}} \\ = & \mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sin x} \ln (1+3 x)} \\ = & \mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x}{x}} \\ = & \mathrm{e}^6 \end{aligned}$

---

047

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( x + 2 ^ { x } \right) ^ { \frac { 2 } { x } } = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$4 \mathrm{e}^2$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0}\left(x+2^x\right)^{\frac{2}{x}} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+2^x-1\right)^{\frac{1}{x+2^x-1} \frac{2}{x}\left(x+2^x-1\right)} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{2}{x}\left(x+2^x-1\right)} \\ = & \lim_{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{ 2\left(1+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{x}\right)} \\ = & \mathrm{e}^{ 2(1+\ln 2)} \\ = & 4 \mathrm{e}^{2} \end{aligned}$

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048

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \cot x \left( \frac { 1 } { \sin x } - \frac { 1 } { x } \right) = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\frac{1}{6}$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right) \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{x-\sin x}{\sin x \cdot x} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} x^3}{x^3} \\ = & \frac{1}{6} \end{aligned}$

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049

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } x \ln x = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$0$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x \\ = & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \\ = & -\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \\ = & 0 \end{aligned}$

---

050

题目

$\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 3 x ^ { 2 } + 5 } { 5 x + 3 } \sin \frac { 2 } { x } = ?$

知识点

• 等价无穷大

答案

$\frac{6}{5}$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \sin \frac{2}{x} \\ = & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \cdot \frac{2}{x} \\ = & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^2+10}{5 x^2+3 x} \\ = & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^2}{5 x^2} \\ = & \frac{6}{5} \end{aligned}$

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051

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { \mathrm { e } ^ { x } - \cos x } = ?$

知识点

• 等价无穷小
• 洛必达运算

答案

$0$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\mathrm{e}^x-\cos x} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{\mathrm{e}^x-\cos x} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\mathrm{e}^x+\sin x} \\ = & \frac{0}{1}=0 \end{aligned}$

---

052

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \left[ \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } - \frac { 1 } { \ln ( 1 + x ) } \right] = ?$

知识点

• 泰勒公式

答案

$-1$

解析

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right] \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\mathrm{e}^x+1}{\left(\mathrm{e}^x-1\right) \ln (1+x)} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x-\frac{1}{2} x^2+o\left(x^2\right)\right)-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)+1}{x^2} \\ = & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^2+o\left(x^2\right)}{x^2} \\ = & -1 \end{aligned}$

---

053

题目

知函数 $f ( x )$ 满足 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { 1 + f ( x ) \sin 2 x } - 1 } { \mathrm { e } ^ { 3 x } - 1 } = 2 ,$ 则 $\lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = ?$

知识点

• 等价无穷小
• 函数的极限

答案

$6$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { 1 + f ( x ) \sin 2 x } - 1 } { \mathrm { e } ^ { 3 x } - 1 } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 2 } f ( x ) \sin 2 x } { 3 x } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x ) \cdot x } { 3 x } \\ = & \frac { 1 } { 3 } \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) \\ = & 2 \\ \Rightarrow & \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = 6 \end{aligned}$

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054

题目

$a$ 是非零常数，则 $\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x + a } { x - a } \right) ^ { x } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\mathrm { e } ^ { 2 a }$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x + a } { x - a } \right) ^ { x } \\ = & \lim _ { x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 2 a } { x - a } \right) ^ { \frac { x - a } { 2 a } \cdot \frac { 2 a x } { x - a } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow \infty } \mathrm{e} ^ { \frac { 2 a x } { x - a } } \\ = & \mathrm { e } ^ { 2 a } \end{aligned}$

---

055

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0^{+} } \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } } } { x + \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } } } = ?$

知识点

• 无穷小和无穷大的代换

答案

$-1$

解析

$t = \frac { 1 } { x }$, 则：

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow 0^{+} } \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } } } { x + \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { x } } } \\ = & \lim _ { t \rightarrow + \infty } \frac { 1 - \mathrm { e } ^ { t } } { \frac { 1 } { t } + \mathrm { e } ^ { t } } \\ = & \lim _ { t \rightarrow + \infty } \frac { - \mathrm { e } ^ { t } } {\mathrm { e } ^ { t } } \\ = & - 1 \end{aligned}$

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056

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } x \cot 2 x = ?$

知识点

• 三角函数
• 等价无穷小

答案

$\frac { 1 } { 2 }$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow 0 } x \cot 2 x \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } x \frac { \cos 2 x } { \sin 2 x } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { 2 x } \\ = & \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

---

057

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 ^ {+} } \left( \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { \tan x } = ?$

知识点

• 等价无穷小
• $\mathrm{e}$ 抬起

答案

$1$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow 0 ^ {+} } \left( \frac { 1 } { \sqrt { x } } \right) ^ { \tan x } \\ = & \lim \limits_{x\rightarrow 0^{ + }} \mathrm{e}^{\ln \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{\tan x} } \\ = & \mathrm{e} ^{\lim \limits_{x\rightarrow 0^{ + }} \tan x \cdot \left(−\frac{1}{2}\ln x\right)} \\ = & \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } \lim _ { x \rightarrow 0^+ } \cdot x \ln x } \\ = & \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } \lim _ { x \rightarrow 0^+ } \frac { \ln x } { \frac { 1 } { x } } } \\ = & \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } \lim _ { x \rightarrow 0^+ } { \frac { 1 } { x } \cdot x^2 } } \\ = & \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } \lim _ { x \rightarrow 0^+ } ( - x ) } \\ = & \mathrm { e } ^ { 0 } \\ = & 1 \end{aligned}$

---

058

题目

若 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 - \tan x } { 1 + \tan x } \right) ^ { \frac { 1 } { \sin k x } } = \mathrm { e }$, 则 $k = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$-2$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 - \tan x } { 1 + \tan x } \right) ^ { \frac { 1 } { \sin k x } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( 1 + \frac { - 2 \tan x } { 1 + \tan x } \right) ^ { \frac { 1 - \tan x } { - 2 \tan x } \cdot \frac { 2 \tan x } { 1 + \tan x } \cdot \frac { 1 } { \sin k x } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \mathrm{e}^{ \frac { 2 \tan x } { 1 + \tan x } \cdot \frac { 1 } { \sin k x } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \mathrm{e}^{\frac{-2}{k}} = \mathrm{e} \\ \Rightarrow & k = -2 \end{aligned}$

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059

题目

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { \mathrm { e } ^ { x } - a } ( \cos x - b ) = 5 ,$ 则 $a = ?$, $b = ?$

知识点

• 比值极限的存在性

答案

$1$, $-4$

解析

由于 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x ( \cos x - b ) } { \mathrm { e } ^ { x } - a } = 5 ,$ 且 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \sin x \cdot ( \cos x - b ) = 0$, 所以 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \mathrm { e } ^ { x } - a \right) = 0 \Rightarrow a = 1$.

由于 $a = 1$, 所以 $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x ( \cos x - b ) } { \mathrm { e } ^ { x } - 1 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ( \cos x - b ) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } ( \cos x - b ) = 1 - b = 5 \Rightarrow b = -4$.

---

060

题目

$\lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x + 2 a } { x - a } \right) ^ { x } = 8 ,$ 则 $a = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\ln 2$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { x \rightarrow \infty } \left( \frac { x + 2 a } { x - a } \right) ^ { x } \\ = & \lim _ { x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 3 a } { x - a } \right) ^ { \frac { x - a } { 3 a } \cdot \frac { 3 a x } { x - a } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow \infty } \mathrm{e}^{ \frac{3ax}{x-a} } \\ = & \lim _ { x \rightarrow \infty } \mathrm{e}^{3a} = 8 \\ \Rightarrow & a = \ln 2 \end{aligned}$

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061

题目

已知 $a \neq \frac { 1 } { 2 }$, 则 $\lim _ { n \rightarrow \infty } \ln \left[ \frac { n - 2 n a + 1 } { n ( 1 - 2 a ) } \right] ^ { n } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\frac { 1 } { 1 - 2 a }$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { n \rightarrow \infty } \ln \left[ \frac { n - 2 n a + 1 } { n ( 1 - 2 a ) } \right] ^ { n } \\ = & \ln \left\{ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left[ 1 + \frac { 1 } { n ( 1 - 2 a ) } \right] ^ { n } \right\} \\ = & \ln \left\{ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left[ 1 + \frac { 1 } { n ( 1 - 2 a ) } \right] ^ { n ( 1 - 2 a ) \cdot \frac { 1 } { 1 - 2 a } } \right\} \\ = & \ln \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { 1 - 2 a } } \\ = & \frac { 1 } { 1 - 2 a } \end{aligned}$

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062

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left[ \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } \right] ^ { n } = ?$

知识点

• 常用的无穷小量

答案

$\mathrm { e } ^ { - 1 }$

解析

由于 $\frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$, 所以：

$\begin{aligned} & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left[ \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } \right] ^ { n } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right] ^ { n } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) ^ { n } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) ^ { - ( n + 1 ) \cdot \frac { n } { n + 1 } } \\ = & \mathrm { e } ^ { - 1 } \end{aligned}$

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063

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } + \cdots + \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } \right) = ?$

知识点

• 极限
• 夹逼准则

答案

$\frac { 1 } { 2 }$

解析

由于 $\frac { 1 + 2 + \cdots + n } { n ^ { 2 } + n + n } \leqslant \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } + \cdots + \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } \leqslant \frac { 1 + 2 + \cdots + n } { n ^ { 2 } }$

并且：

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + 2 + \cdots + n } { n ^ { 2 } + n + n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 ) } { n ^ { 2 } + 2 n } = \frac { 1 } { 2 }$

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + 2 + \cdots + n } { n ^ { 2 } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 ) } { n ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 }$

于是，由夹逼准则，可知 $\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } + n + 2 } + \cdots + \frac { n } { n ^ { 2 } + n + n } \right) = \frac { 1 } { 2 }$

---

064

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } [ \sqrt { 1 + 2 + \cdots + n } - \sqrt { 1 + 2 + \cdots + ( n - 1 ) } ] = ?$

知识点

• 等差数列
• 无穷大

答案

$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

解析

由于 $1 + 2 + \cdots + n = \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } , 1 + 2 + \cdots + ( n - 1 ) = \frac { n ( n - 1 ) } { 2 }$, 所以：

$\begin{aligned} & \sqrt { 1 + 2 + \cdots + n } - \sqrt { 1 + 2 + \cdots + ( n - 1 ) } \\ = & \sqrt { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } - \sqrt { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \\ = & \sqrt { \frac { n } { 2 } } ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n - 1 } ) \\ = & \sqrt { \frac { n } { 2 } } \cdot \frac { 2 } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n - 1 } } \\ = & \sqrt { 2 } \cdot \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n - 1 } } \end{aligned}$

于是：

$\begin{aligned} & \lim _ { n \rightarrow \infty } [ \sqrt { 1 + 2 + \cdots + n } - \sqrt { 1 + 2 + \cdots + ( n - 1 ) } ] \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt { 2 } \cdot \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { n + 1 } + \sqrt { n - 1 } } \\ = & \sqrt { 2 } \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { n } \left( \sqrt { 1 + \frac { 1 } { n } } + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { n } } \right) } \\ = & \sqrt { 2 } \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { n } } + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { n } } } \\ = & \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \end{aligned}$

---

065

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { n + 3 \sqrt { n } } - \sqrt { n - \sqrt { n } } ) = ?$

知识点

• 等差数列
• 无穷大

答案

$2$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { n + 3 \sqrt { n } } - \sqrt { n - \sqrt { n } } ) \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { ( \sqrt { n + 3 \sqrt { n } } - \sqrt { n - \sqrt { n } } ) ( \sqrt { n + 3 \sqrt { n } } + \sqrt { n - \sqrt { n } } ) } { \sqrt { n + 3 \sqrt { n } } + \sqrt { n - \sqrt { n } } } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 \sqrt { n } } { \sqrt { n } \left( \sqrt { 1 + \frac { 3 } { \sqrt { n } } } + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { n } } } \right) } \\ = & \frac { 4 } { \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt { 1 + \frac { 3 } { \sqrt { n } } } + \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { n } } } } \\ = & 2 \end{aligned}$

---

066

题目

$\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n - 2 } { n + 1 } \right) ^ { n } = ?$

知识点

• 常用的无穷小

答案

$\mathrm { e } ^ { - 3 }$

解析

$\begin{aligned} & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n - 2 } { n + 1 } \right) ^ { n } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { - 3 } { n + 1 } \right) ^ { \left( - \frac { n + 1 } { 3 } \right) \cdot \left( - \frac { 3 } { n + 1 } \right) \cdot n } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \mathrm{e}^{ \frac{-3n}{n+1} } \\ = & \lim _ { n \rightarrow \infty } \mathrm{e}^{-3} \end{aligned}$

---

067

题目

当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha ( x ) = k x ^ { 2 }$ 与 $\beta ( x ) = \sqrt { 1 + x \arcsin x } - \sqrt { \cos x }$ 是等价无穷小，则$k = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$\frac { 3 } { 4 }$

解析

由题知：

$\begin{aligned} 1 = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { 1 + x \arcsin x } - \sqrt { \cos x } } { k x ^ { 2 } } \\ = & \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 + x \arcsin x - \cos x } { k x ^ { 2 } ( \sqrt { 1 + x \arcsin x } + \sqrt { \cos x } ) } \\ = & \frac { 1 } { 2 k } \left( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos x } { x ^ { 2 } } + \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \arcsin x } { x ^ { 2 } } \right) \\ = & \frac { 1 } { 2 k } \left( \frac { 1 } { 2 } + 1 \right) = \frac { 3 } { 4 k } \\ \Rightarrow & k = \frac { 3 } { 4 }\end{aligned}$

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068

题目

若 $x \rightarrow 0$ 时， $\left( 1 - a x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } - 1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$-4$

解析

由题知：

$1 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( 1 - a x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } - 1 } { x \sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \frac { 1 } { 4 } a x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 } a$

故 $a = - 4$

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069

题目

已知当 $x \rightarrow 0$ 时， $\left( 1 + a x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - 1$ 与 $\cos x - 1$ 是等价无穷小，则常数 $a = ?$

知识点

• 等价无穷小

答案

$- \frac { 3 } { 2 }$

解析

由题知：

$1 = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \left( 1 + a x ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - 1 } { \cos x - 1 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 2 } } { - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } = - \frac { 2 } { 3 } a$

所以 $a = - \frac { 3 } { 2 }$

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