§4.1. 多元函数微分学基础

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01

题目

已知 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程 $y''+py'+qy=e^{3x}$ 满足初始条件 $y(0)=y'(0)=0$ 的特解，则当 $x\to 0$ ，函数 $\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)}$ 的极限（）

(A) 不存在. (B) 等于 $1$ . (C) 等于 $2$ . (D) 等于 $3$ .

知识点

答案

(C)

解析

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首先，由洛必达法则可知：

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{y(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{y'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{y''(x)},$

接着，将 $y(0)=y'(0)=0$ 代入方程 $y''+py'+qy=e^{3x}$ 中，得 $y''(0)=1$ ,

又因为 $y''(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 于是：

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{y''(x)}=\frac{2}{y''(0)}=2.$

综上可知，本题应选 (C).

题目

若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_{0}^{2x} f\left(\frac{t}{2}\right)dt + \ln 2$ , 则 $f(x)$ 等于 $(\quad)$

$(A)$ $e^x \ln 2.$ $\qquad (B)$ $e^{2x} \ln 2.$

$(C)$ $e^x + \ln 2.$ $\qquad (D)$ $e^{2x} + \ln 2.$

知识点

答案

(B)

解析

因为 $f(x)$ 连续，所以 $\int_{0}^{2x} f\left(\frac{t}{2}\right)dt$ 可导。

于是，在 $f(x)=\int_{0}^{2x} f\left(\frac{t}{2}\right)dt + \ln 2$ 两端对 $x$ 求导，得 $f'(x)=2f(x)$ .

由于求导得到的方程为变量可分离的微分方程，解得 $f(x)=Ce^{2x}$ .

又因为 $f(0)=\ln 2$ , 即 $C=\ln 2$ , 于是可知 $f(x)=e^{2x} \ln 2$ , 应选 (B).

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